OEF Groupes opérant sur un ensemble --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 10 exercices sur les groupes opérant sur un ensemble.

Groupe du carré

On dispose l'ensemble des entiers entre 1 et dans un carré :

On fait agir le groupe de symétrie du carré sur à travers le carré. Donner l'orbite de .

Ecrire l'équation des classes de cette action en donnant (en ordre croissant et avec répétition s nécessaire) les cardinaux des orbites.

Formules des classes I

Un groupe d'ordre opère sur un ensemble de cardinal . Pour cette action, il y a orbites. On cherche la liste des cardinaux des orbites.

Combien y a-t-il de possibilités ?

Il y a en effet possibilités. possibilité. Il y a en fait possibilités. possibilité. Donner pour chacune d'elles la liste des cardinaux des orbites (séparés par des virgules) :

Formules des classes II

Un groupe d'ordre opère sur un ensemble de cardinal . Pour cette action, il y a orbites. On cherche la liste des ordres des stabilisateurs associés aux orbites.

Combien y a-t-il de possibilités ?

Il y a en effet possibilités. possibilité. Il y a en fait possibilités. possibilité. Donner pour chacune d'elles la liste des ordres des stabilisateurs associés aux orbites (séparés par des virgules) :

Formules des classes III

Un groupe d'ordre fini opère sur un ensemble de cardinal . Pour cette action, la formule des classes est

=
Donner l'ordre minimal de possible ?

Orbites dans Z/nZ

Le groupe multiplicatif agit sur l'ensemble ZZ/ZZ par multiplication

.

Combien y a-t-il d'orbites pour cette action : .

Donner les cardinaux de ces orbites dans l'ordre croissant.

.

Questions sur les groupes opérant

Groupes opérant et esp. vectoriel

Soit un corps et un entier supérieur ou égal à 3. Le groupe agit / sur de l'espace vectoriel .

Sélectionner la bonne réponse.

Opération de groupe

h :

a a a -

Opération transitive

Groupe du triangle

On dispose l'ensemble des entiers entre 1 et dans un triangle équilatéral :

On fait agir le groupe de symétrie du triangle équilatéral sur à travers le triangle. Donner l'orbite de .

Ecrire l'équation des classes de cette action en donnant les cardinaux des orbites (dans l'ordre croissant et avec répétition si nécessaire).

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