Géométrie du plan

Ce document est conçu comme une initiation à la géométrie du plan et une introduction à l'utilisation des groupes. Ce travail mène naturellement à l'étude des frises et des pavages, ce qui est abordé dans un autre document.
Il a été développé au fil d'un cours d'ouverture à l'intention d'étudiants de L1 et L2 comme une promenade dans la géométrie du plan.

I De la géométrie aux groupes

II Géométrie du plan

III Isométries du plan

IV Groupes et groupes d'isométrie

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I De la géométrie aux groupes
II Géométrie du plan
III Isométries du plan
IV Groupes et groupes d'isométrie

I De la géométrie aux groupes

Géométrie du plan → I De la géométrie aux groupes

I-1 Géométrie et géométrie

Nous allons commencer par parler de quelques groupes simples.

I-2 Groupes : Introduction

I-3 Rappels : Le plan complexe

I De la géométrie aux groupes
II Géométrie du plan
III Isométries du plan
IV Groupes et groupes d'isométrie

I-1 Géométrie et géométrie

Géométrie du plan → I De la géométrie aux groupes → I-1 Géométrie et géométrie

La géométrie des triangles, de droites, des figures : Les grecs calculent avec la géométrie (construire le nombre dont le carré est 5, trouver le pgcd de deux nombres).
Euclide : Couper une droite donnée, de manière que le rectangle compris sous la droite entière et l'un des segments, soit égal au carré du segment restant.

Solution
Couper une droite donnée, de manière que le rectangle compris sous la droite entière et l'un des segments, soit égal au carré du segment restant.
Voir la construction

On prend un segment $A B$ .

{proof}

$A F^{2} + E G \times G H$ = $F G^{2} = F B^{2}$

Or $F B^{2} = F A^{2} + A B^{2}$ :
donc $E G \times G H = A B^{2}$

et $E G \times G H = A B^{2}$

{proof}

Descartes : Soit $A B$ l'unité et qu'il faille multiplier $B D$ par $B C$ , je n'ai qu'à joindre les points $A$ et $C$ , puis tirer $D E$ parallèle à $C A$ , et $B E$ est le produit de cette multiplication.
Ou s'il faut tirer la racine carrée de $G H$ , je lui ajoute en ligne droite $F G$ , qui est l'unité, et en divisant $F H$ en deux parties égales au point $K$ , du centre $K$ , je tire le cercle $F I H$ , puis élevant du point $G$ une ligne droite jusques à $I$ à angles droits sur $G H$ ; c'est $G I$ la racine cherchées

Solution
Construire la racine carrée d'un nombre représenté par un segment.

voir la construction

Voici le segment de longueur $x$ . Ou s'il faut tirer la racine carrée de $G H$ ,
La géométrie analytique ou cartésienne : on repère un point par ses coordonnées $(x, y)$ . Une droite a une équation $a x + b y + c = 0$ , on donne des expressions analytiques pour les transformations.
Exemple
Trouver anaytiquement le point d'intersection de la droite passant par $A (1, 2)$ et $B (0, 1)$ et de la droite d'équation $y = 2 x + 1$ .
La géométrie devient algèbre : on s'intéresse aux structures, aux transformations plutôt qu'aux objets et à leurs propriétés.
Ainsi les dessins sont les mêmes du point de vue de leur groupe de symétrie.

I-1 Géométrie et géométrie
I-2 Groupes
I-3 Rappels : Le plan complexe

I-2 Groupes : Introduction

Géométrie du plan → I De la géométrie aux groupes → I-2 Groupes

I-2-1 Exemples de groupes

Donnons la définition générale d'un groupe :

I-2-2 Groupes : définition

I-2-3 Exemple : les matrices d'ordre 2

Un exemple important pour la géométrie (et pour la physique) sont les groupes de symétrie ou groupes d'isométries.

I-2-4 Groupe de symétrie : un premier contact

I-2-5 Groupe de symétrie : définition

I-1 Géométrie et géométrie
I-2 Groupes
I-3 Rappels : Le plan complexe

I-2-1 Exemples de groupes

Géométrie du plan → I De la géométrie aux groupes → I-2 Groupes → I-2-1 Exemples de groupes

Commençons par des exemples arithmétiques ou numériques : relatifs, réels ou rationnels :

I-2-1-1 Les nombres Soit

K = ℤ

l'ensemble des nombres relatifs ou

K = ℚ

l'ensemble des nombres rationnels ou

K = ℝ

l'ensemble des nombres réels. Pour tous éléments

x

y

z

K

$x + y \in K$ ;
$(x + y) + z = x + (y + z)$ ;
$0 + x = x + 0 = x$ ;
il existe un élément $x' \in K$ tel que $x + x' = x' + x = 0$ .

I-2-1-2 Les racines de l'unité Soit n un entier

\geq 1

. Soit

μ_{n}

l'ensemble des nombres complexes

z_{k} = e^{2 i k π / n} = \cos (2 k π / n) + i \sin (2 k π / n)

pour

k \in ℤ

. C'est aussi l'ensemble des nombres complexes

z

vérifiant

z^{n} = 1

. Il vérifie pour

z

dans

μ_{n}

k

j

entiers

$z^{k} \times z^{j} = z^{k + j}$ ;
$(z^{k} \times z^{j}) \times z^{r} = z^{k} \times (z^{j} \times z^{r})$ ;
$1 \times z^{k} = z^{k} \times 1 = z^{k}$ ;
$z^{- k} \times z^{k} = 1$ .

Autrement dit, pour tous éléments

z

z'

z ″

μ_{n}

$z \times z' \in μ_{n}$ ;
$(z \times z') \times z ″ = z \times (z' \times z ″)$ ;
$1 \times z = z$ ;
il existe un élément $t \in μ_{n}$ tel que $z \times t = t \times z = 1$ .

Exercice

Dessiner

μ_{4}

μ_{5}

μ_{6}

μ_{7}

... Pour

μ_{7}

, prendre

z_{2} = e^{4 i π / 7}

et repérer successivement les produits

z \times z_{2}

pour

z \in μ_{7}

z = z_{0}

z = z_{1}

z = z_{2}

, ...

n = 8

Exercice

Racines de l'unité et puissances
Sous-groupe de racines de l'unité
Sous-groupe de racines de l'unité II
Sous-groupe de racines de l'unité III

Des manipulations sur trois boules permettent aussi de trouver un groupe :

I-2-1-3 Permutations
(Lire la BD de Stewart : Ah les beaux groupes - les chroniques de Rose Polymath (Belin))
On a trois boules alignées. On peut ne pas changer leur ordre. C'est l'opération identité

S_{0}

. On peut changer leur ordre en échangant les deux premières (opération

S_{1}

), en faisant tourner les trois dernières (opération

S_{2}

) et en effectuant ces opérations successivement. Donner le résultat comme un tableau : si une opération nouvelle apparaît, lui donner un nom (

S_{3}

, ...) et la rajouter.

	$S_{0}$	$S_{1}$	$S_{2}$	$S_{3}$	$S_{4}$	$S_{5}$	$S_{6}$	...
$S_{0}$
$S_{1}$
$S_{2}$
$S_{3}$
$S_{4}$
$S_{5}$
$S_{6}$
...

On appelle ces opérations des permutations de l'ensemble des trois boules.
On note

(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ a & b & c \end{matrix})

la permutation qui transforme 1, 2, 3 en

a

b

c

. Par exemple,

(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{matrix})

est la permutation qui transforme 1, 2, 3 en 2, 3, 1.

Exercice

Permutations I
Permutations II
Permutations III

Enfin, voici un exemple de groupe formé d'applications.

I-2-1-4 Applications Soient les applications suivantes définies sur

ℂ - ℝ

$f_{1} : z \mapsto z$	$f_{4} : z \mapsto$	$f_{7} : z \mapsto$
$f_{2} : z \mapsto - 1 / z$	$f_{5} : z \mapsto$	$f_{8} : z \mapsto$
$f_{3} : z \mapsto - 1 / (z + 1)$	$f_{6} : z \mapsto$	$f_{9} : z \mapsto$

On peut composer ces applications ; donner le résultat comme un tableau : si une application nouvelle apparaît, lui donner un nom et la rajouter.

	$f_{1}$	$f_{2}$	$f_{3}$	$f_{4}$	$f_{5}$	$f_{6}$	$f_{7}$
$f_{1}$
$f_{2}$
$f_{3}$
$f_{4}$
$f_{5}$
$f_{6}$
$f_{7}$

Pouvez-vous vous arrêter ?

I-2-1 Exemples de groupes
I-2-2 Groupes : définition
I-2-3 Exemple : les matrices d'ordre 2
I-2-4 Groupe de symétrie : un premier contact
I-2-5 Groupe de symétrie : définition

I-2-2 Groupes : définition

Géométrie du plan → I De la géométrie aux groupes → I-2 Groupes → I-2-2 Groupes : définition

Définition

On se donne

G

un ensemble et une application

G \times G

dans

G

qu'on va noter

*

( on parle de loi, d'opération):

(x, y) \mapsto x * y

vérifiant pour tous éléments

x

y

z

G

loi interne
$x * y \in G$
associativité
$(x * y) * z = x * (y * z)$ ;
élément neutre
il existe un élément $e$ tel que $e * z = z * e = z$ ;
inverse
il existe un élément $t \in G$ tel que $x * t = t * x = e$ .

L'ensemble

G

muni de la loi

*

est appelé un groupe.

Définition

Un groupe

G

est dit commutatif si pour tous éléments

x

y

G

x * y = y * x .

G

a un nombre fini d'éléments, on représente la loi sous la forme d'un tableau.

Exercice

Prenons

G = {pair, impair}

. Remplissez les deux tableaux selon les règles d'addition et de multiplication. Sont-ils la table d'un groupe ? Si oui, quel est l'élément neutre ?

+	pair	impair
pair
impair

	pair	impair
pair
impair

Exercice

Prenons

G = {1, - 1} \times {1, - 1}

G = {(1, 1), (1, - 1), (- 1, 1), (- 1, - 1)} .

On définit

(x, y) * (x', y') = (xx', yy')

. Compléter le tableau en appelant

x_{1} = (1, 1)

x_{2} = (1, - 1)

x_{3} = (- 1, 1)

x_{4} = (- 1, - 1)

	$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$	$x_{4}$
$x_{1}$
$x_{2}$
$x_{3}$
$x_{4}$

Est-il commutatif ?

I-2-1 Exemples de groupes
I-2-2 Groupes : définition
I-2-3 Exemple : les matrices d'ordre 2
I-2-4 Groupe de symétrie : un premier contact
I-2-5 Groupe de symétrie : définition

I-2-3 Exemple : les matrices d'ordre 2

Géométrie du plan → I De la géométrie aux groupes → I-2 Groupes → I-2-3 Exemple : les matrices d'ordre 2

Une matrice carrée de taille

n

est un tableau à

n

lignes et

n

colonnes. Nous allons regarder le cas où

n = 2

. Une matrice carrée

A

de taille 2 s'écrit alors

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix})

où

a

b

c

d

sont les coefficients.
On définit des opérations sur l'ensemble

M_{2} (ℝ)

des matrices d'ordre 2 à coefficients réels :
Addition :

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) + (\begin{matrix} a' & b' \\ c' & d' \end{matrix}) = (\begin{matrix} a + a' & b + b' \\ c + c' & d + d' \end{matrix}) .

Exercice

Démontrer que

M_{2} (ℝ)

muni de cette opération est un groupe commutatif.

Multiplication :

(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \times (\begin{matrix} a' & b' \\ c' & d' \end{matrix}) = (\begin{matrix} aa' + bc' & ab' + bd' \\ ca' + dc' & cb' + dd' \end{matrix}) .

Exercice

Effectuer le produit

(\begin{matrix} 2 & 3 \\ - 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix}) .

Exercice

Produit de matrices Inverse de matrices Équation de matrices

Exercice

Lesquelles des propriétés de groupe sont vérifiées pour l'opération multiplication ? Que faut-il rajouter comme condition pour avoir une opération de groupe ?

I-2-1 Exemples de groupes
I-2-2 Groupes : définition
I-2-3 Exemple : les matrices d'ordre 2
I-2-4 Groupe de symétrie : un premier contact
I-2-5 Groupe de symétrie : définition

I-2-4 Groupe de symétrie : un premier contact

Géométrie du plan → I De la géométrie aux groupes → I-2 Groupes → I-2-4 Groupe de symétrie : un premier contact

Définition

On appelle isométrie une application du plan (ou de l'espace) conservant les distances :

∥ f (B) - f (A) ∥ = ∥ B - A ∥ .

pour tous points

A

B

On note

Is = Is (ℝ^{2})

l'ensemble des isométries du plan.
Quelques exemples dans le plan :

l'identité ;
les rotations ;
les réflexions par rapport à une droite ;
les symétries centrales par rapport à un point.

Nous verrons qu'il y en a d'autres (par exemple, les translations, les symétries glissées) et nous les trouverons toutes. Celles qu'on vient d'énumérer ont la propriété de laisser fixe un point du plan.

Exercice [Le rectangle]

Chercher les isométries du type précédent qui conservent un rectangle (quelconque, c'est-à-dire qui n'est pas un carré).

rectangle

Suite

Soit

G

le centre de gravité du rectangle, c'est-à-dire l'intersection des diagonales. On trouve

l'identité
les réflexions par rapport à chacune des médiatrices des côtés $D_{1}$ , $D_{2}$ ;

On peut composer ces transformations. En obtient-on d'autres ?

	$id$	$s_{G}$	$s_{D_{1}}$	$s_{D_{2}}$
$id$
$s_{G}$
$s_{D_{1}}$
$s_{D_{2}}$

Le groupe est-il commutatif ? Comment chacune des ces transformations permutent-elles les sommets

A

B

C

D

	A	B	C	D
$id$
$s_{G}$
$s_{D_{1}}$
$s_{D_{2}}$

On a ainsi défini une application du groupe de symétrie du rectangle dans le groupe des permutations des quatre sommets

A

B

C

D

Exercice [Le triangle équilatéral]

Chercher les isométries du type précédent qui conservent un triangle équilatéral.

triangle equilateral

Suite

Soit

G

le centre de gravité du triangle. Il doit être fixe (pourquoi ?). On trouve

l'identité
les réflexions par rapport à chacune des médiatrices $Δ_{A B}$ , $Δ_{B C}$ , $Δ_{C A}$ ;
les rotations d'angle $2 π / 3$ , $4 π / 3$ , et de centre $G$ .

On peut composer ces transformations. En obtient-on d'autres ?

	$id$	$r_{2 π / 3}$	$r_{4 π / 3}$	$s_{Δ_{A B}}$	$s_{Δ_{B C}}$	$s_{Δ_{C A}}$
$id$
$r_{2 π / 3}$
$r_{4 π / 3}$
$s_{Δ_{A B}}$
$s_{Δ_{B C}}$
$s_{Δ_{C A}}$

L'ensemble

{id, r_{2 π / 3}, r_{4 π / 3}, s_{Δ_{A B}}, s_{Δ_{B C}}, s_{Δ_{C A}}}

est un groupe. On peut faire quelques remarques sur le tableau une fois rempli : que remarquez-vous sur chaque ligne ou sur chaque colonne ?
Comment chacune des ces transformations permutent-elles les sommets

A

B

C

	A	B	C
$id$
$r_{2 π / 3}$
$r_{4 π / 3}$
$s_{Δ_{A B}}$
$s_{Δ_{B C}}$
$s_{Δ_{C A}}$

Vérifier qu'on définit ainsi une application du groupe de symétrie du triangle dans le groupe des permutations des trois sommets

A

B

C

Exercice [Autres figures]

Faire le cas d'un triangle isocèle, d'un losange, d'un carré, d'un hexagone régulier ...

losange

I-2-1 Exemples de groupes
I-2-2 Groupes : définition
I-2-3 Exemple : les matrices d'ordre 2
I-2-4 Groupe de symétrie : un premier contact
I-2-5 Groupe de symétrie : définition

I-2-5 Groupe de symétrie : définition

Géométrie du plan → I De la géométrie aux groupes → I-2 Groupes → I-2-5 Groupe de symétrie : définition

Définition

Soient

F

un ensemble de points dans le plan. L'ensemble des isométries conservant F est un groupe et est appelé groupe de symétrie de

F

ou groupe d'isométries. On le note ici

Is (F)

. Si ce groupe est fini, on appelle ordre le nombre de ses éléments.

Exercice

Dessiner une figure ayant la symétrie du rectangle, du triangle équilatéral (et qui n'en soit pas un), c'est-à-dire telle que son groupe de symétrie soit celui du rectangle ou du triangle équilatéral.

Exercice

Trouver le groupe de symétrie des lettres de l'alphabet et écrire son ordre dans le tableau (on ne tiendra pas compte des grosseurs de trait légèrement différentes ...).

I-2-1 Exemples de groupes
I-2-2 Groupes : définition
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I-2-4 Groupe de symétrie : un premier contact
I-2-5 Groupe de symétrie : définition

I-3 Rappels : Le plan complexe

Géométrie du plan → I De la géométrie aux groupes → I-3 Rappels : Le plan complexe

Donnons quelques rappels sur le plan complexe et les isométries dans le plan complexe.

Un nombre complexe s'écrit $z = x + i y$ où $x$ et $y$ sont des réels : $x$ est la partie réelle de $z$ , $y$ est la partie imaginaire de $z$ .
Le conjugué $\bar{z}$ de $z = x + i y$ est $x - i y$ .
Le module $∣ z ∣$ de $z$ est $\sqrt{z \bar{z}} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .
Tout nombre complexe de module 1 s'écrit $\cos θ + i \sin θ$ avec $θ \in ℝ$ unique modulo $2 π$ : c'est l'argument de $z$ (on peut par exemple prendre entre 0 et $2 π$ ). On pose $e^{i θ} = \cos θ + i \sin θ$ .
Tout nombre complexe $x + i y$ non nul s'écrit de manière unique $z = r e^{i θ}$ avec $r > 0$ et l'argument de $z$ . On représente un point du plan par son affixe : $(x, y) \mapsto z = x + iy$

I-3-1 Quelques similitudes

I-3-2 Exercices

I-3-3 Indication pour trouver la nature géométrique

I-1 Géométrie et géométrie
I-2 Groupes
I-3 Rappels : Le plan complexe

I-3-1 Quelques similitudes

Géométrie du plan → I De la géométrie aux groupes → I-3 Rappels : Le plan complexe → I-3-1 Quelques similitudes

Soient

z_{A}

θ \in ℝ

b \in ℂ

λ \in ℝ^{*}

L'application $ℂ \to ℂ, z \mapsto z_{A} + e^{i θ} (z - z_{A})$ est une rotation de centre $z_{A}$ (ou $A$ ) et d'angle :
$z' - z_{A} = e^{i θ} (z - z_{A})$
L'application $ℂ \to ℂ, z \mapsto z + b$ est une translation :
$z' = z + b$
L'application $ℂ \to ℂ, z \mapsto λ (z - z_{A}) + z_{A}$ est une homothétie de centre $z_{A}$ (ou $A$ ) et de rapport :
$z' - z_{A} = λ (z - z_{A})$

Représenter chacune de ces transformations.

I-3-1 Quelques similitudes
I-3-2 Exercices
I-3-3 Indication pour trouver la nature géométrique

I-3-2 Exercices

Géométrie du plan → I De la géométrie aux groupes → I-3 Rappels : Le plan complexe → I-3-2 Exercices

Exercice

Calculer le composé de deux transformations décrites précédemment. Donner leur nature. Trouver à partir de ces résultats des groupes (pour la loi de composition des transformations).

On dit qu'une transformation

f

conserve les angles si pour tous points

A

B

C

, les angles de droite

\hat{(A B, A C)}

\hat{(f (A) f (B), f (A) f (C))}

sont égaux.

Exercice

Soit l'application

ℂ \to ℂ, z \mapsto a z + b

avec

a

b

des complexes. A quelle condition cette transformation est-elle une isométrie, c'est-à-dire conserve-t-elle les distances ? Conserve-t-elle les angles ? Discuter suivant

a

b

et déterminer sa nature géométrique.

Exercice

Soit l'application

ℂ \to ℂ, z \mapsto a \bar{z} + b

avec

a

b

des complexes. A quelle condition cette transformation est-elle une isométrie, c'est-à-dire conserve-t-elle les distances ? Conserve-t-elle les angles ? Représenter le cas particulier

s : z \mapsto \bar{z}

. A quoi correspond la transformation

z \mapsto e^{i θ} \bar{z}

Une similitude conserve les rapports de distance : il existe une constante

k

telle que

∥ f (A) - f (B) ∥ = k ∥ A - B ∥ .

Exercice

En plaçant bien un triangle équilatéral dans le plan complexe (par exemple, son centre de gravité en

0

et un de ses sommets en

1

), expliciter les similitudes complexes qui le laissent invariant.

Exercice

Triangle équilatéral
Tir de rotation
Billard circulaire (1 rebond)
Billard circulaire (2 rebonds)
Billard elliptique
Triangles, rectangles et similitudes
Composition de similitudes
Figures et similitudes
Nature des transformations z -> az+b

Exercice

Composés de symétries centrales

I-3-1 Quelques similitudes
I-3-2 Exercices
I-3-3 Indication pour trouver la nature géométrique

I-3-3 Indication pour trouver la nature géométrique

Géométrie du plan → I De la géométrie aux groupes → I-3 Rappels : Le plan complexe → I-3-3 Indication pour trouver la nature géométrique

Pour trouver la nature géométrique d'une application du plan complexe de la forme

f : ℂ \to ℂ; z \mapsto a z + b

où

a

b

sont des complexes et pour trouver ses éléments caractéristiques :

Si $a = 1$ , $f (z) = z + b$ : il s'agit d'une translation de vecteur représenté par $b$ .
Si $a \neq 1$ , l'équation $z = az + b$ en $z$ a une solution $\frac{b}{1 - a}$ et la transformation $f$ a donc un point fixe $A$ d'affixe $z_{A} = \frac{b}{1 - a}$ . On peut alors écrire
$f (z) - z_{A} = a (z - z_{A}) .$
- Si $a$ est réel, $f$ est une homothétie de rapport $a$ et de centre $A$ .
- Si $a$ est un nombre complexe de module 1 et d'argument modulo $2 π$ , $f$ est une rotation d'angle et de centre $A$ .
- Si $a$ est un complexe de module $r$ et d'argument modulo $2 π$ , $f$ est une similitude d'angle , de centre $A$ et de rapport $r$ . Dans ce cas, $f$ est le composé d'une homothétie et d'une rotation.

I-3-1 Quelques similitudes
I-3-2 Exercices
I-3-3 Indication pour trouver la nature géométrique

II Géométrie du plan

Géométrie du plan → II Géométrie du plan

Donnons d'abord quelques notions de base sur le plan vectoriel en s'appuyant sur le programme de terminale.

II-1 Le plan vectoriel

II-2 Le plan affine

Voici quelques théorèmes dans le plan affine. Faites vous-même un dessin (et même plusieurs) pour comprendre l'énoncé de chacun de ces théorèmes.

II-3 Le plan affine avancé

Et le plan est plus riche si on introduit une structure euclidienne, c'est-à-dire une distance, une norme, un produit scalaire ... (d'ailleurs, dans le plan complexe, cela existe aussi).

II-4 Le plan euclidien

I De la géométrie aux groupes
II Géométrie du plan
III Isométries du plan
IV Groupes et groupes d'isométrie

II-1 Le plan vectoriel

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-1 Le plan vectoriel

Le plan vectoriel est

ℝ^{2}

. C'est l'ensemble des couples de nombres réels

(x, y)

. On appelle ses éléments des vecteurs. Par exemple, le vecteur nul est

\vec{0} = (0, 0)

. On note

\vec{i} = (1, 0)

\vec{j} = (0, 1)

. On peut additionner des vecteurs et multiplier un vecteur par un nombre réel.

II-1-1 Définitions et propriétés

II-1-2 Droites

II-1-3 Indépendance et colinéarité

II-1-4 Bases

II-1 Le plan vectoriel
II-2 Le plan affine
II-3 Le plan affine avancé
II-4 Le plan euclidien

II-1-1 Définitions et propriétés

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-1 Le plan vectoriel → II-1-1 Définitions et propriétés

Proposition

L'addition dans le plan vectoriel est une loi de groupe commutatif : pour tous vecteurs

\overset{⇀}{u}

\overset{⇀}{v}

w

du plan,

(associativité) $(u + v) + w = u + (v + w)$ ;
(élément neutre) $u + 0 = u$ ;
(opposé) $u + (- u) = 0$ ;
(commutativité) $u + v = v + u$ .

La multiplication d'un vecteur par un réel est compatible avec l'addition : pour tous vecteurs

u

v

du plan et tous réels

a

b

$a \cdot (b \cdot u) = (a \cdot b) \cdot u$ ;
(distributivité) $(a + b) \cdot u = a \cdot u + b \cdot u$ ;
(distributivité) $a \cdot (u + v) = a \cdot u + a \cdot v$ ;
(élément absorbant) $a \cdot \overset{⇀}{0} = 0 \cdot u = \overset{⇀}{0}$ ;
$1 \cdot u = u$

II-1-1 Définitions et propriétés
II-1-2 Droites
II-1-3 Indépendance et colinéarité
II-1-4 Bases

II-1-2 Droites

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-1 Le plan vectoriel → II-1-2 Droites

Définition

Une droite vectorielle est une partie

D

du plan formée des multiples

λ u

λ \in ℝ

d'un vecteur non nul

u

. On dit que

u

est une base de

D

. Tout autre vecteur non nul appartenant à

D

en est une base.

v = (a, b)

, alors

D = {(x, y) \in ℝ^{2} ∣ b x - a y = 0}

. On dit que

b x - a y = 0

est une équation de la droite

D

. Si

a \neq 0

, on peut mettre cette équation sous la forme

y - \frac{b}{a} x = 0

ou encore

y = \frac{b}{a} x

Le nombre

\frac{b}{a}

est la pente (coefficient directeur) de la droite. Le vecteur nul appartient à toutes les droites vectorielles.

II-1-1 Définitions et propriétés
II-1-2 Droites
II-1-3 Indépendance et colinéarité
II-1-4 Bases

II-1-3 Indépendance et colinéarité

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-1 Le plan vectoriel → II-1-3 Indépendance et colinéarité

Définition

Deux vecteurs

u

v

sont colinéaires s'il existe deux réels lambda

tels que

(λ, μ) \neq (0, 0)

et tels que

λ u + μ v = 0

Pour que deux vecteurs soient colinéaires, il faut et il suffit qu'ils appartiennent à la même droite.

Définition

Deux vecteurs

u

v

sont linéairement indépendants s'ils ne sont pas colinéaires.

Proposition

Soient deux vecteurs

v_{1} = (a_{1}, b_{1})

v_{2} = (a_{2}, b_{2})

. Les propriétés suivantes sont équivalentes :

$v_{1}$ et $v_{2}$ sont linéairement indépendants ;
$a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} \neq 0$ ;
tout vecteur $v$ s'écrit de manière unique $v = x_{1} v_{1} + x_{2} v_{2}$ avec $x_{1}$ et $x_{2}$ dans $ℝ$ .

Trouver

x_{1}

x_{2}

revient à résoudre un système linéaire.

II-1-1 Définitions et propriétés
II-1-2 Droites
II-1-3 Indépendance et colinéarité
II-1-4 Bases

II-1-4 Bases

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-1 Le plan vectoriel → II-1-4 Bases

Définition

Une base de

ℝ^{2}

est un couple

(e, f)

de vecteurs linéairement indépendants. Si

v

est un vecteur, les réels

a

b

tels que

v = a e + b f

sont appelés les coordonnées/composantes de

v

dans la base

(e, f)

Par exemple, les composantes de

v = (x, y)

dans la base

(i, j)

sont

x

y

.
Soient

(p, q)

(r, s)

les composantes de

i

j

dans la base

(e, f)

. Alors, les composantes du vecteur

u = (x, y)

dans la base

(e, f)

sont

(X, Y) = (px + ry, qx + sy)

, c'est-à-dire sous forme matricielle et en colonne :

(\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix}) = (\begin{matrix} p & r \\ q & s \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} px + ry \\ qx + sy \end{matrix})

Proposition

Soient

(e, f)

une base du plan vectoriel,

u

v

deux vecteurs de composantes respectives

(X_{u}, Y_{u})

(X_{v}, Y_{v})

dans la base

(e, f)

Les vecteurs $u$ et $v$ sont colinéaires si et seulement si $X_{u} Y_{v} - X_{v} Y_{u} = 0$ .
L'ensemble des vecteurs dont les composantes $(X, Y)$ dans la base $(e, f)$ vérifient $aX + bY = 0$ est une droite vectorielle.

Exercice

Changement de base

Exercice

Soit

m

un nombre réel. On considère les vecteurs

e = (1, m + 1)

f = (m, 6)

A quelle condition sur $m$ le couple $(e, f)$ est-il une base du plan vectoriel ?
Donner les coordonnées $(X, Y)$ du vecteur $u$ dans la base $(e, f)$ en fonction des coordonnées $(x, y)$ dans la base usuelle.

Exercice

Trouver l'intersection de 2 droites
Trouver l'intersection de 2 droites II
Trouver l'intersection de 2 droites II
Fonctions linéaires/affines et droites
Projections
Tir aux vecteurs

II-1-1 Définitions et propriétés
II-1-2 Droites
II-1-3 Indépendance et colinéarité
II-1-4 Bases

II-2 Le plan affine

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-2 Le plan affine

Le plan affine est toujours

ℝ^{2}

mais vu un peu différemment (on le note ici

P

). D'abord, on va appeler ses éléments des points. Un point du plan est donc encore un couple de réels. Le point

A = (x_{A}, y_{A})

a pour abscisse

x_{A}

et pour ordonnée

y_{B}

. On appelle bipoint un couple de points.

II-2-1 Translations

II-2-2 Repères du plan

II-2-3 Droites affines

II-2-4 Incidence

II-2-5 Barycentres de points

II-2-6 Polygones

II-2-7 Exercices

II-1 Le plan vectoriel
II-2 Le plan affine
II-3 Le plan affine avancé
II-4 Le plan euclidien

II-2-1 Translations

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-2 Le plan affine → II-2-1 Translations

Définition

Soit

v = (a, b)

un vecteur. On appelle translation de vecteur

v

l'application de

P

dans

P

P = (x, y) \mapsto P + v = (a + x, b + y) .

On la note

t_{v}

Remarquons qu'on vient de définir la notation

P + v

où

P

est un point et

v

un vecteur.

Proposition

$t_{v}$ est une bijection de $P$ dans $P$ ;
$t_{v} \circ t_{w} = t_{v + w}$ ;
$t_{v} \circ t_{- v} = t_{\overset{⇀}{0}} = id$ .

L'ensemble des translations du plan

P

muni de la composition des applications est un groupe commutatif.

Proposition

Pour tout bipoint $AB$ , il existe un unique vecteur $v$ tel que $t_{v} (A) = B$ . On le note aussi $\vec{AB}$ . On a donc la relation
$B = A + \vec{AB} .$
{Relation de Chasles} Pour tous points $A$ , $B$ , $C$ de $P$ , on a la relation
$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$
Pour tout point $A$ du plan et tout vecteur $u$ , il existe un unique point $B$ tel que $\vec{AB} = u$ .

La troisième affirmation est la bijectivité de la translation

t_{v}

II-2-1 Translations
II-2-2 Repères du plan
II-2-3 Droites affines
II-2-4 Incidence
II-2-5 Barycentres de points
II-2-6 Polygones
II-2-7 Exercices

II-2-2 Repères du plan

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-2 Le plan affine → II-2-2 Repères du plan

Définition

Un repère (affine) du plan est un triplet

(A, e, f)

formé d'un point du plan affine

P

et de deux vecteurs

(e, f)

formant une base du plan vectoriel. Les coordonnées de

M

dans le repère

(A, e, f)

sont les composantes du vecteur

\vec{AM}

dans la base

(e, f)

Ainsi, tout point

M

P

s'écrit de manière unique

A + X e + Y f

(X, Y)

sont les coordonnées de M dans le repère affine

(A, e, f)

Exemple

Soit

A = (2, 1)

e = (1, 2)

f = (1, 1)

. Écrire les coordonnées du point

M (x, y)

dans le repère

(A, e, f)

Exercice

Changement de repère

II-2-1 Translations
II-2-2 Repères du plan
II-2-3 Droites affines
II-2-4 Incidence
II-2-5 Barycentres de points
II-2-6 Polygones
II-2-7 Exercices

II-2-3 Droites affines

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-2 Le plan affine → II-2-3 Droites affines

Définition

Une droite affine

D

est une partie du plan affine telle que pour tout

A \in D

, l'ensemble des vecteurs

\vec{AM}

pour

M \in D

soit une droite vectorielle.

Ce qu'on peut dire d'autres manières :

$D = {A + λ u, λ \in ℝ}$ ;
$D$ est le translaté par le vecteur $\vec{OA}$ d'une droite vectorielle $D_{0}$ de base $u$ ; la droite $D_{0}$ est appelée direction de $D$ . La direction $D_{0}$ de $D$ est aussi l'ensemble des vecteurs $\vec{PQ}$ pour $P$ et $Q$ des points de $D$ . Un vecteur directeur de $D$ est une base de la direction $D_{0}$ de $D$ .

Définition

Trois points

A

B

C

du plan affine

P

sont alignés s'ils appartiennent à une même droite, c'est-à-dire si les vecteurs

\vec{AB}

\vec{AC}

sont colinéaires.

L'ensemble des points alignés avec deux points distincts du plan forme une droite. C'est la droite passant par ces deux points. Toute droite affine

D

est aussi l'ensemble des points

M = (x, y)

vérifiant une équation

a x + b y + c = 0

. Sa direction est d'équation

a x + b y = 0

Remarque

On a donc plusieurs manières de se donner une droite et de la représenter. Il est important de savoir passer d'une "représentation à l'autre" et de savoir utiliser la plus adéquate pour résoudre des problèmes. Ainsi, pour se donner une droite, on peut

se donner un point $A$ et un vecteur $v$ non nul ;
se donner deux points distincts $A$ et $B$ ;
écrire l'ensemble des points de la droite comme les points $M$ tels que $AM$ soit colinéaire à $v$ pour un point $A$ et un vecteur $v$ non nul :
${M \in ℝ^{2} tel qu'il existe t \in ℝ ∣ \vec{AM} = t \vec{v}} \begin{matrix} \end{matrix}$
écrire l'ensemble des points de la droite comme les points $M$ barycentres de deux points $A$ et $B$ distincts :
${M \in ℝ^{2} tel qu'il existe t \in ℝ ∣ \vec{OM} = (1 - t) \vec{OA} + t \vec{OB}} \begin{matrix} \end{matrix}$
écrire l'ensemble des coordonnées des points de la droite :
${(x, y) \in ℝ^{2} tel qu'il existe t \in ℝ ∣ {\begin{matrix} x & = & a + t u_{1} \\ y & = & b + t u_{2} \end{matrix}}$
donner une relation entre les coordonnées $(x, y)$ vérifiées par les coordonnées des points de la droite et uniquement par eux. Les vecteurs $v$ et $\vec{AB}$ sont des vecteurs directeurs. Le coefficient directeur (pente) de la droite affine est la pente de sa direction. C'est donc $\frac{b}{a}$ si $v = (a, b)$ avec $v$ non nul et si $v = (a, 0)$ .

Exercice

Donner plusieurs manières de représenter la droite passant par les deux points

(1, 2)

(3, - 1)

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II-2-7 Exercices

II-2-4 Incidence

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-2 Le plan affine → II-2-4 Incidence

Définition

Deux droites affines sont parallèles si elles ont même direction.

Proposition

Pour que deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ soient parallèles, il faut et il suffit qu'il existe une translation $T$ telle que $T (D_{1}) = D_{2}$ .
Si $D$ est une droite affine et $P$ un point du plan, il existe une unique droite affine $D'$ parallèle à $D$ et passant par $P$ (c'est-à-dire telle que $P \in D'$ ) : $D'$ est l'image de la direction $D_{0}$ de $D$ par la translation de vecteur $\vec{OP}$ . Si $A$ est un point de $D$ , c'est aussi l'image de $D$ par la translation de vecteur $\vec{AP}$ .

Définition

Deux droites affines sont sécantes si elles se coupent en un unique point.

Proposition

Deux droites parallèles

D

D'

sont soit disjointes (

D \cap D' = \emptyset

), soit confondues (

D = D'

Proposition

Deux droites sont soit parallèles, soit sécantes (

D \cap D' = {A}

avec

A

un point du plan).

Corollaire

Deux droites

D

d'équation

a x + b y + c = 0

D'

d'équation

a' x + b' y + c' = 0

sont parallèles si

ab' - a' b = 0

. Elles sont sécantes si et seulement si

ab' - a' b \neq 0

Exercice

Parmi les points suivants, lesquels sont alignés ? $A = (1, 2)$ , $B = (\frac{29}{5}, \frac{31}{7})$ , $C = (2, \frac{5}{2})$ , $D = (- 1, - 2)$ , $E = (- \sqrt{12} + 1, - \sqrt{3} + 2)$
Déterminer l'intersection de $(AB)$ et de $(CD)$ .

Exercice

Parmi les droites suivantes, déterminer lesquelles sont parallèles, lesquelles sont concourantes et leurs points d'intersection :
$D_{1} : 3 x - 2 y + 1 = 0$ , $D_{2} : y = 4 x - 7$ , $D_{3} : {\begin{matrix} x & = & 4 t + 4 \\ y & = & 6 t + 3 \end{matrix}, t \in ℝ$ , $D_{4} : 5 x + y = 20$ , $D_{5} : 2 x + 7 - 41 = 0$
Donner l'équation générale des droites passant par $A = (3, 5)$ .
Déterminer l'équation de la parallèle à $D_{2}$ passant par $B = (- 1, 0)$ .

Exercice

Soit

un réel non nul.

Donner l'équation de la droite $D_{λ}$ passant par les points $A_{λ} = (1 / λ, 0)$ et $B_{λ} = (0, λ)$ .
Soit $M = (x, y)$ un point du plan. Donner tous les tels que $M$ appartient à $D_{λ}$ .
Décrire $\cup_{λ \in ℝ^{*}} D_{λ}$ .

Exercice

On considère les points

A = (0, 1)

B = (2, 2)

C = (1, 3)

Donner les coordonnées des points $D = (3, - 1)$ et $E = (1, 3)$ dans le repère $(A, \vec{AB}, \vec{AC})$ .
Donner une équation dans le repère usuel de la droite d'équation $X - 2 Y + 5 = 0$ dans le repère $(A, \vec{AB}, \vec{AC})$ .

Exercice

Reconnaître rapidement des droites parallèles ou perpendiculaires

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II-2-5 Barycentres de points

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-2 Le plan affine → II-2-5 Barycentres de points

Définition

Soient

n

un entier,

A_{1}

, ...,

A_{n}

n

points et

a_{1}

, ... ,

a_{n}

des réels tels que

a_{1} + . . . + a_{n} \neq 0

. Le barycentre des points pondérés

(A_{1}, a_{1})

, ...,

(A_{n}, a_{n})

est l'unique point

G

du plan tel que

a_{1} \vec{{GA}_{1}} + . . . + a_{n} \vec{{GA}_{n}} = 0 .

A

est un point du plan, il vérifie :

G = A + \frac{1}{a_{1} + . . . + a_{n}} (a_{1} \vec{{AA}_{1}} + . . . + a_{n} \vec{{AA}_{n}})

Les coordonnées du barycentre

G

s'expriment (avec des notations évidentes)

{\begin{matrix} x_{G} & = & \frac{a_{1} x_{1} + . . . + a_{n} x_{n}}{a_{1} + . . . + a_{n}} \\ y_{G} & = & \frac{a_{1} y_{1} + . . . + a_{n} y_{n}}{a_{1} + . . . + a_{n}} \end{matrix}

Le milieu du segment

[AB]

est l'unique point

I

tel que

\vec{AI} = \frac{1}{2} \vec{AB}

. Les coordonnées de

A

B

I

vérifient

x_{I} = \frac{1}{2} (x_{A} + x_{B}), y_{I} = \frac{1}{2} (y_{A} + y_{B}) .

Proposition

A

B

sont deux points distincts, la droite

(AB)

est l'ensemble des barycentres de

A

B

Exercice

Décrire l'ensemble des points du segment

[AB]

Proposition [Associativité du barycentre]

a_{1} + a_{2} \neq 0

et si

A'

est le barycentre de

(A_{1}, a_{1})

(A_{2}, a_{2})

, le barycentre de

(A_{1}, a_{1})

(A_{2}, a_{2})

(A_{3}, a_{3})

, ...,

(A_{n}, a_{n})

est égal au barycentre de

(A'_{1}, a_{1} + a_{2})

(A_{3}, a_{3})

, ...,

(A_{n}, a_{n})

s'ils existent.

Quand les poids

a_{1}

, ...,

a_{n}

sont tous égaux, on appelle le barycentre l'isobarycentre ou centre de gravité.
Exemple [ Barycentre de deux points ]

Exercice

Placer le barycentre de points

II-2-1 Translations
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II-2-7 Exercices

II-2-6 Polygones

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-2 Le plan affine → II-2-6 Polygones

Définition

Un triangle est un triplet

T = (A, B, C)

de points. Si les points

A

B

C

sont alignés ou confondus, on dit que

T

est dégénéré.

Supposons

T

non dégénéré. Les points

A

B

C

sont les sommets, les droites

(AB)

(BC)

(CD)

sont les côtés. Le côté

(BC)

est opposé à

A

. Soient

P

Q

R

les milieux respectifs des côtés opposés à

A

B

C

. Les droites

(AP)

(BQ)

(CR)

sont les médianes du triangle. Elles passent par le centre de gravité

G

T

Définition

Un parallélogramme est un quadruplet

(A, B, C, D)

de points du plan tel que

\vec{AB} = \vec{DC}

, ou ce qui revient au même

\vec{AC} = \vec{BD}

Pour qu'un quadruplet (quadrilatère) soit un parallèlogramme, il faut et il suffit que les segments

[AD]

[BC]

aient même milieu.

Définition

L'enveloppe convexe d'un ensemble de points est l'ensemble des barycentres à coefficients positifs (une fois normalisé pour que la somme des poids soit positive). Le segment

[AB]

est l'enveloppe convexe de

A

B

Définition

Une partie

C

du plan est convexe si pour tous points

A

B

C

, le segment

[AB]

est contenu dans

C

Proposition

L'enveloppe convexe d'un ensemble de points est le plus petit convexe contenant ses points.

II-2-1 Translations
II-2-2 Repères du plan
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II-2-7 Exercices

II-2-7 Exercices

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-2 Le plan affine → II-2-7 Exercices

Exercice

Tracer les trois droites d'équation

2 x + y = 1

- 2 x + y = 1

y = - 3

. Caractériser chacune des régions déterminées par ces droites à l'aide de leurs équations.

Exercice

Soient

A

B

C

trois points du plan et

a

b

c

trois réels non nuls tels que les barycentres suivants existent :

G : (A, a), (B, b), (C, c),

G_{1} : (A, - a), (B, b), (C, c),

G_{2} : (A, a), (B, - b), (C, c),

G_{3} : (A, a), (B, b), (C, - c) .

Montrer que $({AG}_{1})$ , $({BG}_{2})$ , $({CG}_{3})$ sont concourantes en $G$ .
Montrer que $(G_{2} G_{3})$ , $(G_{3} G_{1})$ et $(G_{1} G_{2})$ passent respectivement par $A$ , $B$ et $C$ .

Solution

Montrons que $G$ est sur la droite $({AG}_{1})$ . Par associativité du barycentre, $G$ est le barycentre de $(A, 2 a)$ , $(A, - a)$ , $(B, b)$ , $(C, c)$ et donc de $(A, 2 a)$ , $(G_{1}, - a + b + c)$ . Donc $G$ est sur la droite $({AG}_{1}$ . De même pour les autres.
Soit $T$ le barycentre de $(B, - b)$ et $(C, c)$ . Alors, $G_{2}$ est le barycentre de $(A, a)$ et de $(T, - b + c)$ , $G_{3}$ est le barycentre de $(A, a)$ et de $(T, b - c)$ . Donc $A$ , $G_{2}$ et $G_{3}$ sont alignés.

Exercice

Tracer un triangle non dégénéré et les droites prolongeant les côtés du triangle. Caractériser chacune des sept régions obtenus en termes de barycentres des trois sommets du triangle. (On peut commencer par les régions déterminées par une droite.)

Exercice

Régions

Exercice

Barycentre de trois points
Barycentre et côtés d'un triangle
Barycentre : lequel ?

Exercice

Tir de gravité I
Tir de gravité II
Tir de gravité III
Coordonnées barycentriques
Zones barycentriques
Associativité du barycentre

II-2-1 Translations
II-2-2 Repères du plan
II-2-3 Droites affines
II-2-4 Incidence
II-2-5 Barycentres de points
II-2-6 Polygones
II-2-7 Exercices

II-3 Le plan affine avancé

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-3 Le plan affine avancé

II-3-1 Théorème de Thalès

II-3-2 Théorème de Ceva

II-3-3 Théorème de Ménélaüs

II-3-4 Birapport

II-3-5 Théorème de Pappus

II-3-6 Théorème de Desargues

II-3-7 Exercice : Droite de Newton

II-3-8 Un autre exercice

II-1 Le plan vectoriel
II-2 Le plan affine
II-3 Le plan affine avancé
II-4 Le plan euclidien

II-3-1 Théorème de Thalès

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-3 Le plan affine avancé → II-3-1 Théorème de Thalès

Théorème [Thalès]

Soient

A

B

C

trois points alignés et

B'

C'

deux points alignés avec

A

tels que

\vec{AB}

\vec{AB'}

ne soient pas colinéaires. Alors :

(\forall λ \in ℝ) (\vec{AC} = λ \vec{AB} et \vec{AC'} = λ \vec{AB'} \Leftrightarrow \vec{CC'} = λ \vec{BB'})

Proposition [Conséquence]

Soient

A

B

C

trois points distincts du plan non alignés. Soient

C'

B'

les milieux respectifs de

[AB]

et de

[AC]

. Alors, les droites

(BC)

(B' C')

sont parallèles.

Il y a de nombreuses autres formulations du théorème de Thalès, par exemple :

Proposition

Soient

A

B

C

trois points alignés et

B'

C'

deux points alignés avec

A

tels que

A

B

B'

ne soient pas alignés. Alors, si

C

est le barycentre de

(A, a)

(B, b)

C'

est le barycentre de

(A', a)

(B', b)

si et seulement si les droites

BB'

CC'

sont parallèles.

II-3-1 Théorème de Thalès
II-3-2 Théorème de Ceva
II-3-3 Théorème de Ménélaüs
II-3-4 Birapport
II-3-5 Théorème de Pappus
II-3-6 Théorème de Desargues
II-3-7 Exercice : Droite de Newton
II-3-8 Un autre exercice

II-3-2 Théorème de Ceva

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-3 Le plan affine avancé → II-3-2 Théorème de Ceva

Théorème [Ceva]

Soit un triangle

(ABC)

A'

B'

C'

des points situés respectivement sur les côtés opposés à

A

B

C

. Les droites

(AA')

(BB')

(CC')

sont concourantes si et seulement si

\frac{\bar{BA'}}{\bar{A' C}} \times \frac{\bar{CB'}}{\bar{B' A}} \times \frac{\bar{AC'}}{\bar{C' B}} = 1 .

Démonstration

Exemple

Soient

A

B

deux points. Si

C

est barycentre de

(A, a)

et de

(B, b)

\frac{AC}{CB}

est égal à

\frac{b}{a}

. Cela fait un pont entre les barycentres et le théorème de Ceva.

Exercice

Barycentre et théorème de Ceva

Théorème [Médianes]

Les médianes d'un triangle sont concourantes.
Les médianes d'un triangle partagent celui-ci en six petits triangles d'aires égales.
Les hauteurs d'un triangle sont concourantes.

II-3-1 Théorème de Thalès
II-3-2 Théorème de Ceva
II-3-3 Théorème de Ménélaüs
II-3-4 Birapport
II-3-5 Théorème de Pappus
II-3-6 Théorème de Desargues
II-3-7 Exercice : Droite de Newton
II-3-8 Un autre exercice

II-3-3 Théorème de Ménélaüs

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-3 Le plan affine avancé → II-3-3 Théorème de Ménélaüs

Théorème [Ménélaüs]

Soit un triangle

(ABC)

A'

B'

C'

des points situés respectivement sur les droites

(BC)

(CA)

(AB)

. Les points

A'

B'

C'

sont alignés si et seulement si

\frac{\bar{BA'}}{\bar{A' C}} \times \frac{\bar{CB'}}{\bar{B' A}} \times \frac{\bar{AC'}}{\bar{C' B}} = - 1 .

II-3-1 Théorème de Thalès
II-3-2 Théorème de Ceva
II-3-3 Théorème de Ménélaüs
II-3-4 Birapport
II-3-5 Théorème de Pappus
II-3-6 Théorème de Desargues
II-3-7 Exercice : Droite de Newton
II-3-8 Un autre exercice

II-3-4 Birapport

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-3 Le plan affine avancé → II-3-4 Birapport

Rappelons que si

A

B

sont deux points distincts, le rapport

\frac{\bar{CA}}{\bar{CB}}

détermine la position d'un point

C

de la droite

(AB)

par rapport à

A

B

Définition

Le birapport de quatre points alignés

A

B

C

D

est le nombre

[[A, B, C, D]]

égal au rapport de

\frac{\bar{CA}}{\bar{CB}}

et de

\frac{\bar{DA}}{\bar{DB}}

[[A, B, C, D]] = \frac{\bar{CA}}{\bar{CB}} / \frac{\bar{DA}}{\bar{DB}}

= \frac{\bar{CA}}{\bar{CB}} \times \frac{\bar{DB}}{\bar{DA}}

Théorème

Soit

r

le birapport des quatre points alignés

A

B

C

D

O

un point distinct et non aligné avec les quatre points. Alors

∣ r ∣ = \frac{S (OCA)}{S (OCB)} / \frac{S (ODA)}{S (ODB)}

r = \frac{\sin \hat{COA}}{\sin \hat{COB}} / \frac{\sin \hat{DOA}}{\sin \hat{DOB}}

birapport

Démonstration

On note

la droite sur laquelle se trouve les points

A

B

C

D

. Soit

H

le projeté orthognal de

O

sur la droite Delta

.
L'aire du triangle

OCA

est égale à

\frac{1}{2} CA \times OH

.
L'aire du triangle

OCB

est égale à

\frac{1}{2} CB \times OH

.
L'aire du triangle

ODA

est égale à

\frac{1}{2} DA \times OH

.
L'aire du triangle

ODB

est égale à

\frac{1}{2} DB \times OH

.
Ce qui montre facilement la première formule.
Pour la deuxième formule. on calcule l'aire des triangles précédents en choisissant une autre base :

S (OCA) = \frac{1}{2} OC \sin (\hat{COA})

etc, ce qui permet de démontrer la formule au signe près.
Regardons maintenant le signe.
Le point

O

est d'un côté de la droite ! On choisit une orientation pour tourner autour du point

O

(le résultat ne dépend pas du choix car il y a 4 termes). Cela donne une orientation de la droite Delta

pour laquelle le sinus de

\hat{MOM'}

est positif si et seulement si

\bar{MM'}

est positif pour deux points

M

M'

de la droite Delta

birapport

Corollaire

Le nombre

[[A, B, C, D]]

ne dépend que des droites

OA

OB

OC

OD

et non de la sécante :

[[A, B, C, D]] = [[A', B', C', D']] .

On le note aussi

[[OA, OB, OC, OD]] .

C'est le birapport des quatre droites.
Soit

O'

un autre point, on a

[[OA, OB, OC, OD]] = [[O' A, O' B, O' C, O' D]] .

birapport

Exercice

Sur le birapport de quatre points
Conjugué harmonique

II-3-1 Théorème de Thalès
II-3-2 Théorème de Ceva
II-3-3 Théorème de Ménélaüs
II-3-4 Birapport
II-3-5 Théorème de Pappus
II-3-6 Théorème de Desargues
II-3-7 Exercice : Droite de Newton
II-3-8 Un autre exercice

II-3-5 Théorème de Pappus

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-3 Le plan affine avancé → II-3-5 Théorème de Pappus

Théorème [Pappus]

Soient

A

B

C

trois points alignés situés sur une droite

D

, Soient

A'

B'

C'

trois autres points alignés situés sur une autre droite. Les trois points

U

V

W

définis respectivement comme l'intersection de

(BC')

et de

(CB')

, l'intersection de

(CA')

et de

(AC')

et l'intersection de

(AB')

et de

(BA')

sont alignés.

Démonstration

Figure interactive (JSXGraph)

II-3-1 Théorème de Thalès
II-3-2 Théorème de Ceva
II-3-3 Théorème de Ménélaüs
II-3-4 Birapport
II-3-5 Théorème de Pappus
II-3-6 Théorème de Desargues
II-3-7 Exercice : Droite de Newton
II-3-8 Un autre exercice

II-3-6 Théorème de Desargues

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-3 Le plan affine avancé → II-3-6 Théorème de Desargues

Théorème [Desargues]

Soient

(AB)

(A' B')

(A ″ B ″)

trois droites concourantes. Si

(AA')

(BB')

sont sécantes en

C ″

, si

(A' A ″)

(B' B ″)

sont sécantes en

C

(A ″ A)

(B ″ B)

sont sécantes en

C'

, alors

C

C'

C ″

sont alignés.

Une autre formulation est :

Théorème

Si les droites joignant les sommets homologues de deux triangles sont concourantes, les points d'intersection de leurs côtés homologus sont alignés et réciproquement.

Le théorème de Desargues est en fait un théorème dans l'espace que l'on peut projeter sur un plan.
Ce fait est bien mis en évidence par l'applet suivante : Le point 1 (boule rouge) est l'intersection de trois droites concourantes de l'espace. Les triangles "homologues" sont les triangles 2, 3, 4 (boules violettes) et 5, 6, 7 (boules bleues). Les droites des côtés du triangle violet sont dans le plan

P_{violet}

de ce triangle et coupent les droites des côtés du triangle bleu

P_{bleu}

selon l'intersection des deux plans qui est une droite (en général : oublions les cas de parallèlisme ...)
Mais pourquoi les droites des côtés homologues se coupent-elles ? Deux droites de l'espace ne se coupent pas en général (même si elles ne sont pas parallèles). Mais ici, ces droites sont dans un même plan : le plan contenant les deux droites concourantes au point rouge et portant respectivement un des deux sommets du côté et le sommet homologue. Et deux droites d'un plan sont sécantes ou parallèles.
conclusion

https://wims.unich.it/wims/wims.cgi?session=../tmp/robot.1&+cmd=getfile&+special_parm=file_24.spt, https://wims.unich.it/wims/wims.cgi?session=../tmp/robot.1&+cmd=getfile&+special_parm=file_24.xyz

II-3-1 Théorème de Thalès
II-3-2 Théorème de Ceva
II-3-3 Théorème de Ménélaüs
II-3-4 Birapport
II-3-5 Théorème de Pappus
II-3-6 Théorème de Desargues
II-3-7 Exercice : Droite de Newton
II-3-8 Un autre exercice

II-3-7 Exercice : Droite de Newton

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-3 Le plan affine avancé → II-3-7 Exercice : Droite de Newton

Exercice

Soit

(ABC)

un triangle non dégénéré et

D

une droite sécante aux côtés du triangle respectivement en

C'

A'

B'

. Montrer que les milieux

I

J

, et

K

[AA']

[BB']

[CC']

sont alignés.

Construction

Soient trois points

A

B

C

non alignés.

II-3-1 Théorème de Thalès
II-3-2 Théorème de Ceva
II-3-3 Théorème de Ménélaüs
II-3-4 Birapport
II-3-5 Théorème de Pappus
II-3-6 Théorème de Desargues
II-3-7 Exercice : Droite de Newton
II-3-8 Un autre exercice

II-3-8 Un autre exercice

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-3 Le plan affine avancé → II-3-8 Un autre exercice

Faire bouger les points de manière à les placer dans une situation non dégénérée. Que constatez-vous ? Conjecturer le sujet de l'exercice et le démontrer.

II-3-1 Théorème de Thalès
II-3-2 Théorème de Ceva
II-3-3 Théorème de Ménélaüs
II-3-4 Birapport
II-3-5 Théorème de Pappus
II-3-6 Théorème de Desargues
II-3-7 Exercice : Droite de Newton
II-3-8 Un autre exercice

II-4 Le plan euclidien

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-4 Le plan euclidien

Le plan vectoriel euclidien est le plan vectoriel ou affine avec un produit scalaire :

Définition

Le produit scalaire de deux vecteurs $u = (x_{u}, y_{u})$ et $v = (x_{v}, y_{v})$ est le nombre réel $⟨ u, v ⟩ = x_{u} x_{v} + y_{u} y_{v}$ .
Deux vecteurs sont orthogonaux ou normaux si leur produit scalaire est nul.
Si $u$ est un vecteur, le réel $∥ u ∥ = \sqrt{⟨ u, u ⟩} = \sqrt{x_{u}^{2} + y_{u}^{2}}$ s'appelle la norme ou la longueur de $u$ .

II-4-1 Propriétés du produit scalaire

II-4-2 Bases orthogonales

II-4-3 Version affine : la distance

II-4-4 Distance d'un point à une droite

II-4-5 Triangles

II-4-6 Cercles

II-4-7 Angles

II-1 Le plan vectoriel
II-2 Le plan affine
II-3 Le plan affine avancé
II-4 Le plan euclidien

II-4-1 Propriétés du produit scalaire

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-4 Le plan euclidien → II-4-1 Propriétés du produit scalaire

Proposition

Soient

u

v

w

trois vecteurs et lambda

des réels. Le produit scalaire vérifie les propriétés suivantes :

symétrie
$⟨ u, v ⟩ = ⟨ v, u ⟩$ ;
bilinéarité
$⟨ λ u + μ v, w ⟩ = λ ⟨ u, w ⟩ + μ ⟨ v, w ⟩$ ;
vecteur nul
$⟨ u, 0 ⟩ = 0$ ;
positivité
$⟨ u, v ⟩ \geq 0$ ;
définie
$⟨ u, v ⟩ = 0$ si et seulement si $u = 0$ .

Théorème [Théorème de Pythagore]

u

v

sont deux vecteurs orthogonaux, on a

∥ u + v ∥^{2} = ∥ u ∥^{2} + ∥ v ∥^{2} .

Théorème [Inégalité de Cauchy-Schwarz]

u

v

sont deux vecteurs, on a

⟨ u, v ⟩ \leq ∥ u ∥ . ∥ v ∥

Il y a égalité si et seulement si

u

v

sont colinéaires.

Proposition

Soient

\overset{⇀}{v}

\overset{⇀}{w}

deux vecteurs orthogonaux non nuls. Alors

(\overset{⇀}{v}, \overset{⇀}{w})

forment une base de

ℝ^{2}

II-4-1 Propriétés du produit scalaire
II-4-2 Bases orthogonales
II-4-3 Version affine : la distance
II-4-4 Distance d'un point à une droite
II-4-5 Triangles
II-4-6 Cercles
II-4-7 Angles

II-4-2 Bases orthogonales

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-4 Le plan euclidien → II-4-2 Bases orthogonales

Définition

Une base orthogonale de

ℝ^{2}

est une base formée de deux vecteurs orthogonaux. Elle est dite orthonormée si de plus ceux-ci sont unitaires (c'est-à-dire de norme 1).

La base

(\overset{⇀}{i}, \overset{⇀}{j})

est orthonormée.

Proposition

(e_{1}, e_{2})

est une base orthonormée et si

v = X e_{1} + Y e_{2}

w = X' e_{1} + Y' e_{2}

, alors

⟨ v, w ⟩ = X X' + Y Y'

II-4-1 Propriétés du produit scalaire
II-4-2 Bases orthogonales
II-4-3 Version affine : la distance
II-4-4 Distance d'un point à une droite
II-4-5 Triangles
II-4-6 Cercles
II-4-7 Angles

II-4-3 Version affine : la distance

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-4 Le plan euclidien → II-4-3 Version affine : la distance

Définition

A

B

sont deux points du plan affine

P

, on appelle distance (euclidienne) de

A

B

le nombre

∥ \vec{AB} ∥

. On la note

d (A, B)

Définition

Un repère affine orthonormé

(A, \overset{⇀}{e}, \overset{⇀}{f})

est un repère affine tel que

(\overset{⇀}{e}, \overset{⇀}{f})

est une base orthonormée.

Exercice

Soient

A = (2, 1)

B = (1, 1)

C = (- 2, 0)

. Trouver un repère affine orthonormé

(A, \overset{⇀}{e}, \overset{⇀}{f})

tel que que

\overset{⇀}{e}

soit un vecteur directeur de la droite

(AB)

et tel que la deuxième coordonnée du point

C

dans ce repère soit positive ou nulle.

Exercice

Distances entre pions

Proposition

Soit

v = (a, b)

un vecteur. L'ensemble des vecteurs orthogonaux à

v

est une droite vectorielle d'équation

a x + b y = 0

. On l'appelle la droite (vectorielle) orthogonale à

v

Définition

Deux droites vectorielles $D$ et $D'$ sont orthogonales (ou perpendiculaires) si un vecteur de base de $D$ est orthogonal à un vecteur de base de $D'$ .
Deux droites affines $D$ et $D'$ sont orthogonales (ou perpendiculaires) si leurs directions sont orthogonales.

D

est d'équation

a x + b y = 0

, la droite vectorielle perpendiculaire à

D

est d'équation

b x - a y = 0

.
Si

D

D'

sont perpendiculaires et admettent respectivement comme équation

a x + b y = 0

a x' + b y' = 0

, alors

a a' + b b' = 0

.
Si

D

a comme vecteur directeur

(a, b)

, la droite vectorielle perpendiculaire à

D

a comme vecteur directeur

(- b, a)

Proposition

Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles. Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à une est perpendiculaire à l'autre.

II-4-1 Propriétés du produit scalaire
II-4-2 Bases orthogonales
II-4-3 Version affine : la distance
II-4-4 Distance d'un point à une droite
II-4-5 Triangles
II-4-6 Cercles
II-4-7 Angles

II-4-4 Distance d'un point à une droite

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-4 Le plan euclidien → II-4-4 Distance d'un point à une droite

Proposition

Soient

D

une droite affine et

M

un point du plan. Il existe une unique droite Delta

perpendiculaire à

D

et passant par

M

. Soient

A

un point de

D

v

un vecteur de base de la direction de

D

. Le point d'intersection

H

D

et de

, appelé projeté orthogonal de

M

sur

D

vérifie :

H = A + \frac{⟨ \vec{AM}, v ⟩}{∥ v ∥^{2}} v

Exercice

La distance de

M

à un point

Q

D

est minimale pour le projeté orthogonal

H

M

sur

D

: pour tout point

Q

D

, on a

d (M, Q) \geq d (M, H) .

Proposition

La distance d'un point

A = (x_{A}, y_{A})

à une droite

D

d'équation

a x + b y + c = 0

est

d (A, D) = \frac{∣ a x_{A} + b y_{A} + c ∣}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} .

On définit ainsi une application de

P

dans

P

qui à

M

associe son projeté orthogonal sur

D

. On l'appelle projection orthogonale sur

D

Exercice

Droite orthogonale
Distance I
Distance II
Distance III
Distance IV
Projection I
Projection II

II-4-1 Propriétés du produit scalaire
II-4-2 Bases orthogonales
II-4-3 Version affine : la distance
II-4-4 Distance d'un point à une droite
II-4-5 Triangles
II-4-6 Cercles
II-4-7 Angles

II-4-5 Triangles

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-4 Le plan euclidien → II-4-5 Triangles

Définition

Soit

(ABC)

un triangle non dégénéré. La hauteur issue du sommet

A

est la perpendiculaire au côté opposé

BC

passant par

A

. Le pied de cette hauteur est le projeté de

A

sur le côté

BC

Théorème [Pythagore]

Soit

(ABC)

un triangle rectangle en

A

, alors

{AB}^{2} + {AC}^{2} = {BC}^{2} .

De plus, si

(ABC)

est un triangle vérifiant l'égalité précédentes, il est rectangle en

A

Définition

La médiatrice de deux points distincts

A

B

est l'ensemble des points équidistants de

A

B

. C'est la droite perpendiculaire à

(AB)

passant par le milieu du segment

[AB]

Proposition

Les médiatrices d'un triangle non dégénéré sont concourantes.

Exercice

Comment calculer la distance de deux droites parallèles ? Utiliser plusieurs représentations des droites (équation cartésienne, équations paramétriques).

Exercice

Soit

(ABC)

un triangle équilatéral de hauteur

h

. Soit

M

un point à l'intérieur du triangle.

Montrer que la somme des distances de $M$ aux côtés du triangle est égale à $h$ .
Soient $c$ , $a$ , $b$ les distances de $M$ à chacun des côtés $(AB)$ , $(BC)$ et $(CA)$ respectivement. Montrer que $M$ est le barycentre de $(A, a)$ , $(B, b)$ , $(C, c)$

On appelle les coordonnées

(a, b, c)

M

les coordonnées trilinéaires. Elles vérifient

a + b + c = h

. Tracer tous les points à coordonnées trilinéaires entières d'un triangle de hauteur 5. Combien y en a-t-il ?
Solution

La somme des aires des trois triangles

(AMB)

(BMC)

(CMA)

est égale à l'aire du triangle équilatéral qui est

\frac{1}{2} hl

l

est la longueur du côté. D'autre part, l'aire de

(AMB)

est la moitié du produit de la distance de

M

AB

par

l

. De même pour les autres triangles. Donc la somme des distances est bien égale à

h

. Ecrivons

P

comme barycentre de

(A, a_{1})

(B, b_{1})

(C, c_{1})

avec

a_{1} + b_{1} + c_{1} = h

. En mettant le côté

BC

centré sur l'axe des

x

, on a

\vec{OM} = \frac{a_{1}}{h} \vec{OA} + \vec{w}

avec

w

porté par

BC

OA

perpendiculaire à

BC

. Donc,

a = \frac{a_{1}}{h} h = a_{1}

. De même pour les deux autres.

Exercice

Coordonnées trilinéaires

II-4-1 Propriétés du produit scalaire
II-4-2 Bases orthogonales
II-4-3 Version affine : la distance
II-4-4 Distance d'un point à une droite
II-4-5 Triangles
II-4-6 Cercles
II-4-7 Angles

II-4-6 Cercles

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-4 Le plan euclidien → II-4-6 Cercles

Définition

Le cercle de centre

A

et de rayon

r

est l'ensemble des points dont la distance à

A

est

r

Définition

Le cercle circonscrit à un triangle non dégénéré est le cercle passant par les sommets du triangle.

Proposition

Les médiatrices d'un triangle sont concourantes au centre du cercle circonscrit d'un triangle.

Proposition

Une droite et un cercle sont soit sécants (si leur intersection est formée de deux points distincts, soit tangents (un seul point d'intersection) soit disjoints.

Proposition

M = (x_{M}, y_{M})

est un point du cercle

𝒞

de centre

A

et de rayon

r

, il existe une unique tangente à

𝒞

passant par

M

; elle a pour équation

(x_{M} - x_{A}) (x - x_{M}) + (y_{M} - y_{A}) (y - y_{M}) = 0

C'est la perpendiculaire au rayon du cercle passant par

M

Théorème [droite d'Euler]

Le centre de gravité, l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit d'un triangle non dégénéré sont alignés.

II-4-1 Propriétés du produit scalaire
II-4-2 Bases orthogonales
II-4-3 Version affine : la distance
II-4-4 Distance d'un point à une droite
II-4-5 Triangles
II-4-6 Cercles
II-4-7 Angles

II-4-7 Angles

Géométrie du plan → II Géométrie du plan → II-4 Le plan euclidien → II-4-7 Angles

On suppose connues la définition et propriété de base des fonctions trigonométriques. Par exemple,

\cos (a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b

Soient

u

w

deux vecteurs non nuls. On définit l'angle (orienté)

\hat{(v, w)}

des vecteurs

v

w

comme le nombre réel theta

modulo

2 π

tel que

⟨ v, w ⟩ = ∥ v ∥ ∥ w ∥ \cos θ .

Un vecteur unitaire s'écrit

v = (\cos θ, \sin θ)

où

est un nombre réel unique modulo

2 π

, c'est-à-dire unique à l'addition près de

2 n π

avec

n

un entier relatif. On dit que theta

est un argument de

v

Théorème [Al-Kachi]

(ABC)

est un triangle non dégénéré,

{BC}^{2} = {AB}^{2} + {AC}^{2} - 2 AB . AC \cos (\hat{\vec{AB}, \vec{AC}}) .

Proposition

Soient

A

B

deux points distincts et theta

un angle non nul.

L'ensemble des points $M$ du plan tels que l'angle $\hat{\vec{MA}, \vec{MB}}$ soit égal à $\pm θ$ est un cercle passant par $A$ et $B$ privé de $A$ et $B$ .
Soient un cercle $C$ de centre $C$ et $A$ , $B$ et $M$ trois points du cercle. Alors,
$(\hat{\vec{CA}, \vec{CB}}) = 2 (\hat{\vec{MA}, \vec{MB}})$

II-4-1 Propriétés du produit scalaire
II-4-2 Bases orthogonales
II-4-3 Version affine : la distance
II-4-4 Distance d'un point à une droite
II-4-5 Triangles
II-4-6 Cercles
II-4-7 Angles

III Isométries du plan

Géométrie du plan → III Isométries du plan

Et maintenant passons aux isométries du plan : une isométrie conserve les distances. Nous allons toutes les déterminer.

Définition

Une isométrie est une application de

P

dans

P

conservant les distances,

d (f (A), f (B)) = d (A, B)

pour tous points

A

B

: autrement dit :

∥ \vec{f (A) f (B)} ∥ = ∥ \vec{A B} ∥ .

III-1 Des exemples

III-2 Le groupe des isométries

III-3 Point de vue de l'algèbre linéaire

III-4 Composé et transformé

III-5 Formulaires

III-6 Exercices

I De la géométrie aux groupes
II Géométrie du plan
III Isométries du plan
IV Groupes et groupes d'isométrie

III-1 Des exemples

Géométrie du plan → III Isométries du plan → III-1 Des exemples

Exercice

Avant même de commencer, essayez de deviner de quelle isométrie il s'agit.

III-1-1 Les translations

III-1-2 Les rotations

III-1-3 Les réflexions

III-1-4 Les symétries glissées

III-1 Des exemples
III-2 Le groupe des isométries
III-3 Point de vue de l'algèbre linéaire
- III-3-1 Matrices orthogonales
- III-3-2 Isométries
III-4 Composé et transformé
III-5 Formulaires
III-6 Exercices

III-1-1 Les translations

Géométrie du plan → III Isométries du plan → III-1 Des exemples → III-1-1 Les translations

On les a déjà vu . La translation de vecteur

\overset{⇀}{v}

associe à tout point

M

du plan le point

M'

tel que

\vec{M M'} = \overset{⇀}{v}

. La composition des deux translations de vecteur

\overset{⇀}{u}

\overset{⇀}{v}

est la translation de vecteur

\overset{⇀}{u} + \overset{⇀}{v}

. Une translation transforme une droite en une droite parallèle et conserve les angles.
En particulier,

\hat{(\vec{B_{1} B_{2}}, \vec{A_{1} A_{2}})} = \hat{(\vec{B_{1} B_{2}}, \vec{t (A_{1}) t (A_{2})})} .

III-1-1 Les translations
III-1-2 Les rotations
III-1-3 Les réflexions
III-1-4 Les symétries glissées

III-1-2 Les rotations

Géométrie du plan → III Isométries du plan → III-1 Des exemples → III-1-2 Les rotations

Soient

A

un point du plan

P

un réel.

Définition

On appelle rotation de centre

A

et d'angle theta

l'application qui à un point

M

associe le point

M'

tel que

d (A, M') = d (A, M)

et tel que l'angle orienté

\hat{M A M'} = \hat{(\vec{A M}, \vec{A M'})}

est égal à theta

modulo

2 π

; l'image de

A

est

A

lui-même.

Exercice

On se donne deux points

A

A'

et deux demi-droites

D

D'

d'origine respective

A

A'

de ces points. Construire le centre de la rotation qui envoie

D

sur

D'

. On pourra se donner deux points

B

B'

sur chacune des deux demi-droites

D

D'

tels que

A B = A' B'

. Quelle est la condition sur les demi-droites pour que cette rotation existe ?

Exercice

Construction du centre de rotation

Soir

r = r_{A, θ}

une rotation de centre

A

et d'angle theta

Le point $A$ est fixe et c'est le seul point fixe par $r$ si l'angle de la rotation est non nul.
Démonstration
Par définition, $d (A, r (A)) = d (A, A) = 0$ donc $r (A) = A$ . D'autre part, si $B$ est un autre point fixe,
$\hat{B A B} \equiv θ \equiv 0 mod 2 π .$
Donc l'angle de la rotation est nul.
$r$ est une isométrie et $\hat{(\vec{M_{1} M_{2}}, \vec{r (M_{1}) r (M_{2})})} \equiv θ$ .
Démonstration
On desine et on regarde les triangles $A M_{1} M_{2}$ et $Ar (M_{1}) r (M_{2})$ . Les côtés $A M_{1}$ et $Ar (M_{1})$ d'une part et $A M_{2}$ et $Ar (M_{2})$ d'autre part sont égaux par définition de $r$ . On a alors l'égalité d'angles
$\hat{M_{1} A M_{2}} = \hat{M_{1} Ar (M_{1})} + \hat{r (M_{1}) Ar (M_{2})} + \hat{r (M_{2}) A M_{2}}$

$\equiv θ + \hat{r (M_{1}) Ar (M_{2})} - θ$
Donc
$\hat{M_{1} A M_{2}} = \hat{r (M_{1}) Ar (M_{2})}$

Les deux triangles $A M_{1} M_{2}$ et $A M_{1}' M_{2}'$ ont deux côtés égaux et un angle égal, ils sont donc égaux. Donc les troisièmes côtés sont égaux :
$d (r (M_{1}), r (M_{2})) = d (M_{1}, M_{2})$
Ce qui prouve que $r$ est une isométrie. Les deux autres angles sont aussi égaux :
$\hat{(\vec{M_{1} M_{2}}, \vec{r (M_{1}) r (M_{2})})}$

$= \hat{(\vec{M_{1} M_{2}}, \vec{Ar (M_{1})})} + \hat{(\vec{Ar (M_{1})}, \vec{A M_{2}})} + \hat{(\vec{A M_{2}}, \vec{r (M_{1}) r (M_{2})})}$

$= - \hat{M_{1} Ar (M_{1})} + \hat{(\vec{Ar (M_{2})}, \vec{A M_{2}})} + \hat{M_{2} Ar (M_{2})}$

$= \hat{(\vec{Ar (M_{2})}, \vec{A M_{2}})} \equiv θ$
la rotation respecte les angles et l'orientation
Démonstration

$\hat{(\vec{M_{1} M_{2}}, \vec{M_{3} M_{4}})} = \hat{(\vec{M_{1} M_{2}}, \vec{r (M_{1}) r (M_{2})})}$

$+ \hat{(\vec{r (M_{1}) r (M_{2})}, \vec{r (M_{3}) r (M_{4})})} + \hat{(\vec{r (M_{3}) r (M_{4})}, \vec{M_{3} M_{4}})}$

$= \hat{(\vec{r (M_{1}) r (M_{2})}, \vec{r (M_{3}) r (M_{4})})}$

Proposition

L'ensemble des rotations de centre

A

muni de la loi de composition des applications est un groupe. Le composé d'une rotation et d'une translation est une rotation.

Démonstration

Le composé de deux rotations de centre $A$
Le composé $r = r_{1} \circ r_{2}$ de deux rotations $r_{1}$ et $r_{2}$ de centre $A$ et d'angles respectifs $θ_{1}$ et $θ_{2}$ est une rotation de centre $A$ et d'angle $θ_{1} + θ_{2}$ : en effet
$d (A, r_{1} (M')) = d (A, M')$ , $d (A, r_{2} (M)) = d (A, M);$
en prenant $M' = r_{2} (M)$ , on obtient
$d (A, r_{1} \circ r_{2} (M)) = d (A, r_{1} (r_{2} (M))) = d (A, r_{1} (M')) = d (A, M') = d (A, M)$
Pour les angles,
$\hat{M A r_{1} \circ r_{2} (M)} = \hat{M A r_{2} (M)} + \hat{r_{2} (M) A r_{1} \circ r_{2} (M)}$

$\equiv θ_{2} + θ_{1} mod 2 π .$
L'inverse d'une rotation
L'inverse de la rotation de centre $A$ et d'angle est la rotation de centre $A$ et d'angle $- θ mod 2 π$ .
Le composé d'une rotation et d'une translation
Étudions le composé d'une translation $t_{v}$ et d'une rotation $r = r_{A, θ}$ . Construisons un point fixe géométriquement. Notons-le $B$ .

Le composé de deux isométries est une isométrie, donc on a bien la relation
$d (B, f (M)) = d (f (B), f (M)) = d (B, M)$
On a d'autre part
$\hat{(\vec{B M}, \vec{Bf (M)})} = \hat{(\vec{B M}, \vec{f (B) f (M)})} = \hat{(\vec{B M}, \vec{r (B) r ((M))})} \equiv θ$

Proposition

Le composé de deux rotations est soit une rotation, soit une translation.

Ici les rotations n'ont pas forcément le même centre.
Démonstration

Cherchons un point fixe. On le note

B

. La relation sur les angles se démontre ensuite toujours de la même manière

	$\hat{(\vec{f (B) f (M)}, \vec{B M})}$
	$= \hat{(\vec{r_{1} (r_{2} (B)) r_{1} (r_{2} (M))}, \vec{r_{2} (B) r_{2} (M)})} + \hat{(\vec{r_{2} (B) r_{2} (M)}, \vec{B M})}$
	$\equiv θ_{1} + θ_{2}$

Exercice

Vérifier que

r_{A, θ} = t_{\overset{⇀}{v}} \circ r_{B, θ}

avec

\overset{⇀}{v} = \vec{B A} - \vec{{Or}_{B, θ} (A)} = \vec{r_{B, θ} (A) A}

Quel est le centre de rotation de

t_{\overset{⇀}{v}} \circ r_{B, θ}

, de

r_{B, θ} \circ t_{\overset{⇀}{v}}

? Comment le construire géométriquement ?

Remarque

Dans le plan complexe, la rotation est donnée par

ℂ \to ℂ, z \mapsto z' = z_{A} + e^{i θ} (z - z_{A}) .

Prenons d'abord pour

A

l'origine

O

. Si

z' = x' + iy'

z = x + i y

, on obtient

{\begin{matrix} x' & = & \cos θ x & + & \sin θ y \\ y' & = & - \sin θ x & + & \cos θ y \end{matrix}

c'est-à-dire

(\begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})

On vérifie ainsi que la rotation de centre

O

et d'angle theta

est une application linéaire.
Pour

A

quelconque, on a les formules

(\begin{matrix} x' - x_{A} \\ y' - y_{A} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}) (\begin{matrix} x - x_{A} \\ y - y_{B} \end{matrix})

c'est-à-dire

(\begin{matrix} x' \\ y' \end{matrix}) = (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}) (\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) + (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})

avec

(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{A} \\ y_{A} \end{matrix}) - (\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}) (\begin{matrix} x_{A} \\ y_{A} \end{matrix})

Le déterminant de la matrice

(\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix})

est égal à

\cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1

III-1-1 Les translations
III-1-2 Les rotations
III-1-3 Les réflexions
III-1-4 Les symétries glissées

III-1-3 Les réflexions

Géométrie du plan → III Isométries du plan → III-1 Des exemples → III-1-3 Les réflexions

Soit

D

une droite affine du plan

P

Définition

Le symétrique orthogonal d'un point

P

par rapport à

D

est le point

Q

tel que la droite

(P Q)

soit perpendiculaire à

D

et tel que l'intersection de

(P Q)

et de

D

soit le milieu du segment

[P Q]

. L'application

s_{D} : P \to P

P \mapsto Q

est appelée réflexion orthogonale ou réflexion axiale ou symétrie orthogonale d'axe

D

Proposition

Les points de la droite

D

sont invariants par la réflexion

s_{D}

. Les droites Delta

perpendiculaires à

D

sont globalement invariantes par

s_{D}

s_{D} (Δ) = Δ

. Une réflexion

s

transforme les angles en leur opposé :

\hat{s (A) s (B) s (C)} = - \hat{A B C} .

Exercice

Construire l'axe de la réflexion donnée par les images d'un certain nombre de points (à propos, combien de points sont-ils nécessaires pour déterminer une réflexion) ?

Remarque

Prenons comme repère affine orthonormé

(A, \overset{⇀}{u}, \overset{⇀}{v})

avec

A

un point de

D

\overset{⇀}{u}

un vecteur unitaire sur

D

\overset{⇀}{v}

un vecteur unitaire normal à

\overset{⇀}{u}

. La réflexion

s_{D}

est donnée dans ce repère par

(\begin{matrix} X' \\ Y' \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix})

Soit

l'angle que fait le vecteur

\overset{⇀}{u}

avec le vecteur

\overset{⇀}{i}

. On a donc

\overset{⇀}{u} = \cos θ \overset{⇀}{i} + \sin θ \overset{⇀}{j}

, et on peut prendre

\overset{⇀}{v} = - \sin θ \overset{⇀}{i} + \cos θ \overset{⇀}{j}

. Alors la matrice de

s_{D}

dans le repère

(A, \overset{⇀}{i}, \overset{⇀}{j})

est

(\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) {(\begin{matrix} \cos θ & - \sin θ \\ \sin θ & \cos θ \end{matrix})}^{- 1} = (\begin{matrix} \cos 2 θ & \sin 2 θ \\ \sin 2 θ & - \cos 2 θ \end{matrix})

Cela peut se voir géométriquement~. Si

\overset{⇀}{a}

est l'image de

\overset{⇀}{i}

par la réflexion

s_{D}

, comme l'angle de

\overset{⇀}{u}

porté par

D

avec

\overset{⇀}{i}

est

, l'angle que fait

\overset{⇀}{i}

avec son image est

2 θ

Le déterminant de

(\begin{matrix} \cos 2 θ & \sin 2 θ \\ \sin 2 θ & - \cos 2 θ \end{matrix})

est

- (\cos^{2} 2 θ + \cos^{2} 2 θ) = - 1

Exercice

La réflexion par rapport à une droite passant par

A

et de vecteur normal

\overset{⇀}{v}

est donnée par

s_{D} (M) = M - 2 \frac{⟨ \vec{A M}, \overset{⇀}{v} ⟩}{⟨ \overset{⇀}{v}, \overset{⇀}{v} ⟩} \overset{⇀}{v} .

III-1-1 Les translations
III-1-2 Les rotations
III-1-3 Les réflexions
III-1-4 Les symétries glissées

III-1-4 Les symétries glissées

Géométrie du plan → III Isométries du plan → III-1 Des exemples → III-1-4 Les symétries glissées

Que donne le composé d'une réflexion et d'une translation ?

Définition

Soit

D

une droite et

\overset{⇀}{v}

un vecteur parallèle à

D

. On appelle symétrie glissée d'axe de glissage

D

et de vecteur

\overset{⇀}{v}

le composé de la réflexion

s_{D}

par la translation de vecteur

\overset{⇀}{v}

On a

s_{D} \circ t_{\overset{⇀}{v}} = t_{\overset{⇀}{v}} \circ s_{D}

Proposition

Soit

\overset{⇀}{v}

un vecteur quelconque. Soit

s_{D}

la réflexion par rapport à la droite

D

t_{\overset{⇀}{v}}

la translation de vecteur

\overset{⇀}{v}

Si $\overset{⇀}{v}$ est perpendiculaire à $D$ , $s_{D} \circ t_{\overset{⇀}{v}}$ est une réflexion par rapport à la droite translatée de $D$ par le vecteur $- \overset{⇀}{v} / 2$
Si $\overset{⇀}{v}$ n'est pas perpendiculaire à $D$ , posons $\overset{⇀}{v} = \overset{⇀}{w} + \overset{⇀}{v_{1}}$ avec $\overset{⇀}{w}$ la projection de $\overset{⇀}{v}$ sur $D$ et $\overset{⇀}{v_{1}}$ perpendiculaire à $D$ et soit $D_{1}$ la droite translatée de $D$ par le vecteur $- \overset{⇀}{v} / 2$ . Alors, $s_{D} \circ t_{\overset{⇀}{v}}$ est la symétrie glissée d'axe de glissage $D_{1}$ et de vecteur $w$ .

Exercice

Axe d'une symétrie glissée

Exemple

continuer

Soient

P

Q

P'

Q'

quatre points tels que

d (P, Q) = d (P', Q')

. Il existe une symétrie glissée

s

telle que

s (P) = P'

s (Q) = Q'

III-1-1 Les translations
III-1-2 Les rotations
III-1-3 Les réflexions
III-1-4 Les symétries glissées

III-2 Le groupe des isométries

Géométrie du plan → III Isométries du plan → III-2 Le groupe des isométries

III-2-1 Structure de groupe

Géométrie du plan → III Isométries du plan → III-2 Le groupe des isométries → III-2-1 Structure de groupe

Proposition

L'ensemble des isométries de

P

forme un groupe que l'on note

Is = Is (P)

. En particulier :

le produit (composé) de deux isométries est une isométrie ;
une isométrie est une bijection de $P$ dans $P$ , elle admet une application réciproque qui est aussi une isométrie.

Rappel

Une application de

P

dans

P

est bijective si

$f$ est injective : pour tout $A \in P$ , $B \in P$ ,
$f (A) = f (B) \Rightarrow A = B;$
$f$ est surjective : pour tout $C \in P$ , il existe $A \in P$ tel que $f (C) = A$ .

La chose délicate à montrer est qu'une isométrie

f

est bijective. Nous pourrons déduire ce fait de considérations d'algèbre linéaire. Mais nous allons ici le faire de manière géométrique.

Démonstration

Remarque

On a montré au passage les propositions suivantes :

Proposition

Une isométrie qui laisse fixe trois points non alignés est l'identité.

Proposition

Toute isométrie peut être écrite comme le composé d'au plus trois réflexions.

III-2-1 Structure de groupe
III-2-2 Les isométries positives
III-2-3 Liste des isométries du plan
III-2-4 Exercices

III-2-2 Les isométries positives

Géométrie du plan → III Isométries du plan → III-2 Le groupe des isométries → III-2-2 Les isométries positives

Proposition

Une isométrie conservant l'orientation et ayant un point fixe est une rotation.
Démonstration

Soit

f

une isométrie laissant fixe un point

O

et conservant l'orientation. En particulier,

f

n'est pas une réflexion. Supposons que

f

n'est pas l'identité.
Soit

A

un point d'image

B

distincte de

A

r

la rotation de centre

O

envoyant

A

sur

B

. Alors

g = r^{- 1} \circ f

laisse fixe

O

A

et préserve l'orientation.
Si

g

n'est pas l'identité, prenons

M

un point non fixe par

g

. Comme

O

A

sont à égale distance de

M

et de

f (M)

, la droite

(O A)

est la médiatrice de

M

f (M)

. Donc

g

coïncide avec la réflexion par rapport à la droite

(O A)

sur trois points, elle lui est donc égale. Comme

g

conserve l'orientation, ce n'est pas possible. Donc,

g

est l'identité et

f

est une rotation.

Le composé de deux rotations est une rotation ou une translation.
Démonstration

Nous l'avons déjà vu, mais donnons-en une démonstration légèrement différente. Soit

f

le composé de deux rotations. Nous avons montré par construction que soit

f

a un point fixe, soit

f

est une translation. Si elle a un point fixe, comme elle conserve l'orientation,

f

est une rotation.

III-2-1 Structure de groupe
III-2-2 Les isométries positives
III-2-3 Liste des isométries du plan
III-2-4 Exercices

III-2-3 Liste des isométries du plan

Géométrie du plan → III Isométries du plan → III-2 Le groupe des isométries → III-2-3 Liste des isométries du plan

Proposition

Toute isométrie est d'un des types suivants :

translation par un vecteur $\overset{⇀}{v}$ ;
rotation d'angle de centre un point $A$ ;
réflexion par rapport à une droite $D$ ;
symétrie glissée obtenue en faisant une réflexion par rapport à une droite $D$ , puis en translatant par un vecteur non nul parallèle à $D$ .

Les deux premiers types d'isométrie sont des isométries positives (conservant l'orientation) , les deux derniers sont des isométries négatives.

Démonstration

On sait maintenant que toute isométrie est le composé d'au plus trois réflexions. Qu'obtient-on pratiquement ? On suppose dans la suite que

f

n'est pas l'identité.

$f$ est une réflexion.
$f = s_{D_{2}} \circ s_{D_{1}}$ est le composé de deux réflexions par rapport à deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ . Alors, $f$ respecte l'orientation.
- Les droites $D_{1}$ et $D_{2}$ sont parallèles
  Alors $f$ est une translation.
  
  $\vec{M M'} = \vec{M I} + \vec{J J} + \vec{J M_{1}} = \vec{I M_{1}} + \vec{I J} + \vec{M_{1} J} = 2 \vec{I J}$
- les droites $D_{1}$ et $D_{2}$ ne sont pas parallèles
  Le point d'intersection $A$ de $D_{1}$ et $D_{2}$ est fixe par $f$ : $f (A) = A$ . Soit $B$ un point tel que $f (B)$ est différent de $B$ . Soit $r$ la rotation de centre $A$ et envoyant $B$ sur $f (B)$ . Alors $g = r^{- 1} \circ f$ a deux points fixes $A$ et $B$ .
  Supposons que $g$ ne soit pas l'identité : soit $C$ un point différent de $g (C)$ . Alors, $(A B)$ est la médiatrice de $[C, g (C)]$ . Soit $s$ la réflexion par rapport à la droite $(A B)$ . Alors, $s \circ g$ est une isométrie laissant fixe trois points. C'est donc l'identité. Mais comme $g$ est une isométrie positive et $s$ une isométrie négative, ce n'est pas possible. Donc, $g$ est l'identité et $f = r$ est une rotation.
$f = s_{D_{3}} \circ s_{D_{2}} \circ s_{D_{1}}$ est le composé de trois réflexions par rapport à trois droites $D_{1}$ , $D_{2}$ et $D_{3}$ . En particulier, $f$ ne conserve pas l'orientation.
- Les droites $D_{1}$ , $D_{2}$ et $D_{3}$ sont parallèles
  L'isométrie $s_{D_{2}} \circ s_{D_{1}}$ est une translation de vecteur $2 \overset{⇀}{v}$ perpendiculaire à la direction des trois droites. Le composé avec $s_{D_{3}}$ est encore une réflexion par rapport à la droite $D_{3}$ translaté de $- \overset{⇀}{v}$
- Les droites $D_{1}$ , $D_{2}$ sont parallèles
  L'isométrie $s_{D_{2}} \circ s_{D_{1}}$ est une translation de vecteur $2 \overset{⇀}{v}$ perpendiculaire à la direction des deux droites $D_{1}$ et $D_{2}$ . Le composé avec $s_{D_{3}}$ est une réflexion glissée d'axe de glissage la droite translatée de $D_{3}$ par $\overset{⇀}{w}$ où $\overset{⇀}{w}$ est le projeté du vecteur $\overset{⇀}{v}$ sur une perpendiculaire à $D_{3}$ .
- Les droites $D_{1}$ , $D_{3}$ sont parallèles
  On traite ce cas comme le précédent.
- Les droites $D_{2}$ , $D_{3}$ sont parallèles
  Idem.
- Les droites $D_{1}$ , $D_{2}$ et $D_{3}$ sont concourantes
  Soit $A$ le point d'intersection de $D_{1}$ , $D_{2}$ et $D_{3}$ . Le composé $s_{D_{2}} \circ s_{D_{1}}$ est une rotation de centre $A$ que l'on peut écrire comme $s_{D_{3}} \circ s_{L}$ avec $L$ une droite convenable : plus précisément $L$ est la droite passant par $A$ dont l'angle avec $D_{3}$ est égal à l'angle de $D_{1}$ avec $D_{2}$ . On a alors
  $s_{D_{3}} \circ s_{D_{2}} \circ s_{D_{1}} = s_{D_{3}} \circ s_{D_{3}} \circ s_{L} = s_{L}$
  Donc, $f$ est une réflexion.
  
  L'axe de symétrie passe par $A$ et est la droite des milieux $[Mf (M)]$ . Pendre par exemple pour $M$ un point de $D_{1}$ .
- Les droites $D_{1}$ , $D_{2}$ et $D_{3}$ ne sont pas concourantes
  Le composé $s_{D_{2}} \circ s_{D_{1}}$ est une rotation de centre le point d'intersection $A$ de $D_{1}$ et $D_{2}$ et d'angle non nul. On peut l'écrire comme $s_{D'_{3}} \circ s_{L}$ avec $D'_{3}$ la droite parallèle à $D_{3}$ passant par $A$ et $L$ une droite convenable : plus précisément $L$ est la droite passant par $A$ dont l'angle avec $D'_{3}$ est égal à l'angle de $D_{1}$ avec $D_{2}$ . On a alors
  $s_{D_{3}} \circ s_{D_{2}} \circ s_{D_{1}} = s_{D_{3}} \circ s_{D'_{3}} \circ s_{L} = t_{v} \circ s_{L}$
  où $v$ est un vecteur perpendiculaire à $D_{3}$ . Ce vecteur n'est pas perpendiculaire à $L$ car $L$ n'est pas parallèle à $D'_{3}$ . Donc, $f$ est une réflexion glissée.
  
  L'axe de glissage passe la projection de $D_{2} \cap D_{1}$ sur $D_{3}$ et par la projection de $D_{2} \cap D_{3}$ sur $D_{1}$ . En effet, l'image de $D_{2} \cap D_{1}$ par $f$ est son symétrique par rapport à la droite $D_{3}$ et l'axe de glissage passe par le milieu de $[Mf (M)]$ . L'image par $f$ du symétrique de $D_{3} \cap D_{2}$ par rapport à $D_{1}$ est $D_{3} \cap D_{2}$ .

Remarque

Le composé de trois réflexions est une réflexion si et seulement si les droites sont parallèles ou concourantes. Sinon, c'est une symétrie glissée de vecteur de translation non nul.

III-2-1 Structure de groupe
III-2-2 Les isométries positives
III-2-3 Liste des isométries du plan
III-2-4 Exercices

III-2-4 Exercices

Géométrie du plan → III Isométries du plan → III-2 Le groupe des isométries → III-2-4 Exercices

Exercice

Toute isométrie est le composé d'une isométrie ayant un point fixe et d'une translation.

Exercice

Le composé de deux rotations de centres distincts est une isométrie positive. C'est donc soit une translation, soit une rotation. Trouver géométriquement son centre ou le vecteur de translation.

Exercice

Composé de deux rotations

Exercice

Réflexion axiale et glissée

Exercice

Le composé d'une rotation non triviale et d'une translation est une isométrie positive. C'est une rotation. Trouver géométriquement son centre.

Exercice

Composé d'une rotation et d'une translation

Exercice

Caractériser le composé d'une rotation et d'une réflexion.

Exercice

Composé d'une rotation et d'une réflexion

Exercice

Écrire une rotation comme composé de réflexions.

Exercice

Rotation : composé de réflexions

Exercice

Tracer l'axe du composé de trois réflexions.

Exercice

Produit de trois réflexions

III-2-1 Structure de groupe
III-2-2 Les isométries positives
III-2-3 Liste des isométries du plan
III-2-4 Exercices

III-3 Point de vue de l'algèbre linéaire

Géométrie du plan → III Isométries du plan → III-3 Point de vue de l'algèbre linéaire

III-3-1 Matrices orthogonales

III-3-2 Isométries

III-1 Des exemples
III-2 Le groupe des isométries
III-3 Point de vue de l'algèbre linéaire
- III-3-1 Matrices orthogonales
- III-3-2 Isométries
III-4 Composé et transformé
III-5 Formulaires
III-6 Exercices

III-3-1 Matrices orthogonales

Géométrie du plan → III Isométries du plan → III-3 Point de vue de l'algèbre linéaire → III-3-1 Matrices orthogonales

A

est une matrice, la matrice transposée est par définition la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes :

{(\begin{matrix} a & b Unknown character 293 & d \end{matrix})}^{t} = (\begin{matrix} a & c Unknown character 150 & d \end{matrix}) .

Les matrices des rotations et des réflexions vérifient

A A^{t} = A^{t} A = id

Définition

Une matrice est dite orthogonale si

A A^{t} = A^{t} A = id

Proposition

L'ensemble des matrices orthogonales forme un groupe pour le produit des matrices. On le note

O_{2} (ℝ)

Proposition

Les propriétés suivantes sont équivalentes :

$A$ est orthogonale ;
les colonnes de $A$ sont des vecteurs unitaires (deux à deux) orthogonaux ;
l'application linéaire $f$ de matrice $A$ dans la base $(\overset{⇀}{i}, \overset{⇀}{j})$ vérifie
$⟨ f (\overset{⇀}{u}), f (\overset{⇀}{v}) ⟩ = ⟨ \overset{⇀}{u}, \overset{⇀}{v} ⟩ .$

L'application linéaire

f

est dite orthogonale.

Proposition

Le déterminant d'une application linéaire orthogonale est égal à

\pm 1

Proposition

Les applications linéaires orthogonales de déterminant 1 sont les rotations de

ℝ^{2}

(laissant fixe

O

III-3-1 Matrices orthogonales
III-3-2 Isométries

III-3-2 Isométries

Géométrie du plan → III Isométries du plan → III-3 Point de vue de l'algèbre linéaire → III-3-2 Isométries

Proposition

Soit

f

une application de

P

dans

P

. Alors, il y a équivalence entre les propriétés suivantes :

$f$ est une isométrie fixant l'origine $O$ ;
$f$ préserve le produit scalaire :
$⟨ \vec{Of (A)}, \vec{Of (B)} ⟩ = ⟨ \vec{O A}, \vec{O B} ⟩$
$f$ est la multiplication à gauche par une matrice orthogonale : si $A = (x_{A}, y_{A})$ et $B = f (A) = (x_{B}, y_{B})$ , alors
$(\begin{matrix} x_{B} \\ y_{B} \end{matrix}) = M (\begin{matrix} x_{A} \\ y_{A} \end{matrix})$
avec $M \in O_{2} (ℝ)$ (application linéaire orthogonale).

III-3-1 Matrices orthogonales
III-3-2 Isométries

III-4 Composé et transformé

Géométrie du plan → III Isométries du plan → III-4 Composé et transformé

On peut composer deux isométries mais il y a une opération plus naturelle : transformer une isométrie par une autre.

Définition

Soit

g

une isométrie. On appelle

transformée par $g$ de la translation de vecteur $\overset{⇀}{v}$ la translation de vecteur $g (\overset{⇀}{v})$ .
transformée par $g$ de la rotation de centre $A$ et d'angle la rotation de centre $g (A)$ et d'angle ;
transformée par $g$ de la réflexion orthogonale d'axe $D$ la réflexion orthogonale d'axe $g (D)$ ;

On note

f^{g}

la transformée de

f

par

g

. On parle aussi de conjuguée. Cette opération est beaucoup plus simple que la composée ! Il suffit de transformer les invariants.
Dans

Is (P)

, on peut quand même interpréter la transformée comme un composé :

Proposition

Le transformé de

f

par

g

est

g \circ f \circ g^{- 1}

. Ainsi :

Soient $t$ une translation de vecteur $\overset{⇀}{v}$ et $r_{A, θ}$ la rotation de centre $A$ et d'angle . Soit $B$ l'image de $A$ par $t_{v}$ . Alors
$t_{v} \circ r_{A, θ} \circ t_{- v} = r_{B, θ}$
autrement dit $t_{v} \circ r_{A, θ} = r_{B, θ} \circ t_{v}$ .
Soient $t_{v}$ la translation de vecteur $\overset{⇀}{v}$ et $s_{D}$ la réflexion par rapport à $D$ . Soit $D'$ l'image de $D$ par la translation $t_{v}$ . Alors
$t_{v} \circ s_{D} \circ t_{- v} = s_{D'}$
autrement dit, $t_{v} \circ s_{D} = s_{D'} \circ t_{v}$ .
On note $s_{D}$ la réflexion orthogonale par rapport à la droite $D$ , $t_{v}$ la translation de vecteur $\overset{⇀}{v}$ , $s_{A}$ la symétrie centrale par rapport à un point $A$ du plan.
- si $\overset{⇀}{v}$ est parallèle à $D$ ,
  $s_{D} \circ t_{v} \circ s_{D}^{- 1} = t_{v}$
  autrement dit $s_{D} \circ t_{v} = t_{v} \circ s_{D}$
- si $\overset{⇀}{v}$ est perpendiculaire à $D$ ,
  $s_{D} \circ t_{v} \circ s_{D}^{- 1} = t_{- v}$
  autrement dit $s_{D} \circ t_{v} = t_{- v} \circ s_{D}$
- $s_{A} \circ t_{v} \circ s_{A}^{- 1} = t_{- v}$
  autrement dit $s_{A} \circ t_{v} = t_{- v} \circ s_{A}$

F

est une figure, pour trouver le transformé de

F

par

f^{g}

, on commence par prendre l'image réciproque de

F

par

g

(on déplace la figure). Puis on applique par

f

, puis on transforme par

g

(on la remet en place).
On peut utiliser le fait que le carré d'une réflexion est l'identité pour simplifier les formules.

III-1 Des exemples
III-2 Le groupe des isométries
III-3 Point de vue de l'algèbre linéaire
- III-3-1 Matrices orthogonales
- III-3-2 Isométries
III-4 Composé et transformé
III-5 Formulaires
III-6 Exercices

III-5 Formulaires

Géométrie du plan → III Isométries du plan → III-5 Formulaires

On note

s_{D}

la réflexion orthogonale par rapport à la droite

D

t_{v}

la translation de vecteur

\overset{⇀}{v}

s_{A}

la symétrie centrale par rapport à un point

A

du plan.

Exercice

Démontrer les formules suivantes (et faire un dessin)

$s_{A} \circ s_{B} = t_{2 \vec{B A}}$ ;
si $D$ et $D'$ sont deux droites parallèles, $s_{D} \circ s_{D'} = t_{2 \vec{K H}}$ avec $K \in D'$ , $H \in D$ et $(K H)$ perpendiculaire aux deux droites ;
Si $A \in D$ , $s_{D} \circ s_{A} = s_{A} \circ s_{D} = s_{Δ}$ où est la droite perpendiculaire à $D$ passant par $A$ ;
Si $A \notin D$ , $s_{D} \circ s_{A} = t_{v} \circ s_{Δ}$ où est la droite perpendiculaire à $D$ passant par $A$ , $\overset{⇀}{v} = 2 \vec{A H}$ et $H$ la projection orthogonale de $A$ sur $D$ .
Si $D_{1}$ et $D_{2}$ sont des droites affines passant par un point $A$ et l'angle orienté de $D_{1}$ et de $D_{2}$ ,
$s_{D_{2}} \circ s_{D_{1}} = r_{A, 2 θ} .$

Exercice

Soit

A

un point de

P

g

une isométrie. On peut écrire de manière unique

g

sous la forme

t_{v} \circ g_{A}

où

t_{v}

est une translation et où

g_{A}

est une isométrie laissant fixe le point

A

. Vérifier que

v = \vec{Ag (A)}

Exercice

Décomposition d'une isométrie

Pratiquement :

Si $g$ est une translation, on prend pour $g_{A}$ l'identité et pour translation la translation $g$ .
Si $g$ est une rotation de centre $B$ , on prend pour $g_{A}$ la rotation de centre $A$ et pour translation la translation de vecteur $\vec{Ag (A)}$ .
Exemple
Si $g$ est une réflexion d'axe $D$ , on prend la droite $D_{A}$ parallèle à $D$ et passant par $A$ , $g_{A}$ la réflexion d'axe $D_{A}$ et pour translation la translation de vecteur $2 \overset{⇀}{w}$ où $\overset{⇀}{w} = \vec{A H}$ est le vecteur perpendiculaire aux droites $D$ et $D_{A}$ avec $H$ sur $D$ .
Exemple
Si $g$ est une réflexion glissée d'axe $D$ et de vecteur $\overset{⇀}{v}$ (parallèle à $D$ ), on prend la droite $D_{A}$ parallèle à $D$ et passant par $A$ , $g_{A}$ la réflexion d'axe $D_{A}$ et pour translation la translation de vecteur $2 \overset{⇀}{w} + \overset{⇀}{v}$ où $\overset{⇀}{w} = \vec{A H}$ est le vecteur perpendiculaire aux droites $D$ et $D_{A}$ avec $H$ sur $D$ .

III-1 Des exemples
III-2 Le groupe des isométries
III-3 Point de vue de l'algèbre linéaire
- III-3-1 Matrices orthogonales
- III-3-2 Isométries
III-4 Composé et transformé
III-5 Formulaires
III-6 Exercices

III-6 Exercices

Géométrie du plan → III Isométries du plan → III-6 Exercices

Exercice

Soit

s

la réflexion d'axe la droite d'équation

y - x = \frac{1}{2}

. Pour chacune des translations

t

de vecteur

(1, 1)

(1, - 1)

(2, 0)

, soit

f

l'isométrie composée

s \circ t

. Déterminer la nature de

f

et ses éléments caractéristiques.

Exercice

Soit

r

la rotation de centre

O

et d'angle

π / 2

s

la réflexion d'axe la droite d'équation

x = \frac{1}{2}

. Soit

f

l'isométrie composée

f \circ s

. Montrer que

f

est une réflexion glissée. Préciser l'axe

D

et le vecteur de translation.

Exercice

Soit $A = (1, 2)$ et $r$ la rotation de centre $A$ et d'angle $2 π / 3$ . On écrit $r$ comme le composé $t_{\overset{⇀}{v}} \circ r_{O}$ d'une translation de vecteur $\overset{⇀}{v}$ et d'une rotation de centre $O$ . Quel est l'angle de la rotation $r_{O}$ ? Calculer le vecteur $\overset{⇀}{v}$ . Faire de même en écrivant $r = r_{O} \circ t_{\overset{⇀}{w}}$ .
Faire de même avec la rotation de centre $B = (0, - 1)$ et de d'angle $π / 4$ : $r' = t_{\overset{⇀}{v'}} \circ r_{O}'$
Qu'obtient-on pour $r \circ r' = t_{\overset{⇀}{a}} \circ r_{O} ″$ ?
Écrire la rotation $r$ précédente comme composé de deux réflexions.

III-1 Des exemples
III-2 Le groupe des isométries
III-3 Point de vue de l'algèbre linéaire
- III-3-1 Matrices orthogonales
- III-3-2 Isométries
III-4 Composé et transformé
III-5 Formulaires
III-6 Exercices

IV Groupes et groupes d'isométrie

Géométrie du plan → IV Groupes et groupes d'isométrie

Nous avons des groupes concrets à notre disposition, nous allons revenir aux groupes d'isométries du plan, autrement dit les groupes de symétrie d'un système. Dans ce paragraphe, nous n'étudierons de tels groupes que lorsqu'ils sont finis.
Les groupes que nous venons de rencontrer sont

${Is}_{A} (P)$ le groupe des isométries de $P$ laissant fixe $A$ (dans sa version vectorielle, $O_{2} (ℝ)$ le groupe des isométries de $ℝ^{2}$ laissant fixe $O$ ) ;
${Is}_{A}^{+} (P)$ le groupe des rotations de $P$ laissant fixe $A$ , ou ce qui revient au même le groupe des isométries positives de $P$ laissant fixe $A$ ;
$Is (P)$ le groupe des isométries ;
${Is}^{+} (P)$ le groupe des isométries positives de $P$ (rotation-translation) ;
${GL}_{2} (ℝ)$ le groupe linéaire (le groupe des applications linéaires bijectives de $ℝ^{2}$ ) ;
$GA (P)$ le groupe affine des composés de translations et d'applications linéaires (laissant fixe $O$ ).

Rappelons maintenant la définition d'un groupe de symétrie.

IV-1 Groupes d'isométries ou de symétrie

Nous n'avons pour l'instant donné que la définition d'un groupe. Il est temps d'en faire un peu plus :

IV-2 Sous-groupes et ordre

IV-3 Sous-groupe engendré

IV-4 Groupe cyclique

IV-5 Morphismes de groupes

IV-6 Sous-groupes invariants

Un groupe de symétrie qui est fini fixe toujours un point du plan et on peut complétement déterminer sa structure. C'est ce qu'on va faire dans le paragraphe suivant.

IV-7 Les groupes d'isométries du plan qui sont finis

IV-8 Exercices

IV-9 Coloriages

Un groupe d'isométries qui n'est pas fini n'a pas toujours de points fixes : prenons par exemple le groupe des isométries d'une droite du plan. Pour l'étudier, on introduit la notion de groupe ponctuel (ou groupe vectoriel).

IV-10 Groupe ponctuel

I De la géométrie aux groupes
II Géométrie du plan
III Isométries du plan
IV Groupes et groupes d'isométrie

IV-1 Groupes d'isométries ou de symétrie

Géométrie du plan → IV Groupes et groupes d'isométrie → IV-1 Groupes d'isométries ou de symétrie

Définition

Soit

F

un ensemble de points dans le plan. L'ensemble des isométries conservant

F

est un groupe et est appelé groupe de symétrie ou groupe d'isométries de

F

. On le note ici

Is (F)

Remarque

Attention, un groupe de symétrie n'est pas formé que de symétries. Il n'est par contre formé que d'isométries (en tout cas, dans notre contexte).

Exercice

Quel est le groupe de symétrie d'un point

A

? Quel est le lien entre le groupe de symétrie de

A

et celui d'un autre point

B

Exercice

Quel est le groupe de symétrie de la droite de direction

\overset{⇀}{i}

(axe des

x

) ? Quel est le groupe de symétrie de la droite d'équation

a x + b y = 0

a x + b y = c

F

est fini, numérotons ses points

A_{1}, . . ., A_{n}

ou même 1, ...,

n

. Soit

g

un élément de

Is (F)

. On peut alors définir la permutation des points de

F

(\begin{matrix} A_{1} & A_{2} & . . . & A_{n} \\ g (A_{1}) & g (A_{2}) & . . . & g (A_{1}) \end{matrix})

On a ainsi une action de

Is (F)

sur l'ensemble

{A_{1}, . . ., A_{n}}

Définition

Une action d'un groupe

G

sur un ensemble

X

est une application

G \times X \to X

qui vérifie les propriétés suivantes

$e * x = x$ pour $x \in X$ ;
$(g_{1} g_{2}) * x = g_{1} * (g_{2} * x)$ pour $x \in X$ , $g_{1} \in X$ , $g_{2} \in X$ .

On dit aussi que

G

opère sur l'ensemble

X

Exemple

Nous n'avons vu en fait ici que des groupes opérant sur un ensemble. Il s'agit d'une notion très naturelle qu'on utilise sans le savoir:

$Is (F)$ opère sur $F$ .
Le groupe du carré opère sur l'ensemble $S$ des sommets d'un carré.
Le groupe du carré opère aussi sur l'ensemble $C$ des côtés du carré.
Le groupe du carré opère sur l'ensemble $CS$ des couples formés d'un côté et d'un de ses sommets. Combien d'éléments l'ensemble $CS$ a-t-il ?

IV-1 Groupes d'isométries ou de symétrie
IV-2 Sous-groupes et ordre
IV-3 Sous-groupe engendré
IV-4 Groupe cyclique
IV-5 Morphismes de groupes
IV-6 Sous-groupes invariants
IV-7 Les groupes d'isométries du plan qui sont finis
IV-8 Exercices
IV-9 Coloriages
IV-10 Groupe ponctuel

IV-2 Sous-groupes et ordre

Géométrie du plan → IV Groupes et groupes d'isométrie → IV-2 Sous-groupes et ordre

Définition

Soit

G

un groupe muni d'une loi

*

. Un sous-groupe est un sous-ensemble

H

G

tel que

si $x$ et $y$ appartiennent à $H$ , $x * y$ appartient à $H$ ;
l'élément neutre de $G$ appartient à $H$ ;
si $x$ appartient à $H$ , $x^{- 1}$ appartient à $H$ .

Autrement dit,

H

muni de la loi

*

est un groupe.

Exercice

L'ensemble des matrices de la forme $(\begin{matrix} 1 & t \\ 0 & 1 \end{matrix})$ avec $t \in ℝ$ est un sous-groupe de ${GL}_{2} (ℝ)$ .
L'ensemble des matrices de la forme $(\begin{matrix} u & 0 \\ 0 & v \end{matrix})$ avec $u \in ℝ^{*}$ et $v \in ℝ^{*}$ est un sous-groupe de ${GL}_{2} (ℝ)$ .

Définition

L'ordre d'un élément

g

d'un groupe

G

est le plus petit entier

n

strictement positif tel que

g^{n} = e

s'il existe et infty

sinon.

Exercice

Soient $s_{1}$ et $s_{2}$ deux réflexions d'axe $D_{1}$ et $D_{2}$ . Quel est l'ordre de $s_{1}$ et $s_{2}$ ? de leur composé ?
Soit $r_{A, θ}$ une rotation d'angle $2 π / n$ et $t_{v}$ une translation. Calculer l'ordre de $r_{A, θ} \circ t_{v}$ .
Calculer l'ordre de $(\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})$ , de $(\begin{matrix} \cos \frac{2 π}{n} & - \sin \frac{2 π}{n} \\ \sin \frac{2 π}{n} & \cos \frac{2 π}{n} \end{matrix})$ , de $(\begin{matrix} \cos \frac{2 π}{n} & \sin \frac{2 π}{n} \\ \sin \frac{2 π}{n} & - \cos \frac{2 π}{n} \end{matrix})$ .

Proposition

L'ordre d'un élément d'un groupe fini divise l'ordre du groupe.

IV-1 Groupes d'isométries ou de symétrie
IV-2 Sous-groupes et ordre
IV-3 Sous-groupe engendré
IV-4 Groupe cyclique
IV-5 Morphismes de groupes
IV-6 Sous-groupes invariants
IV-7 Les groupes d'isométries du plan qui sont finis
IV-8 Exercices
IV-9 Coloriages
IV-10 Groupe ponctuel

IV-3 Sous-groupe engendré

Géométrie du plan → IV Groupes et groupes d'isométrie → IV-3 Sous-groupe engendré

Définition

Soit

U

un sous-ensemble d'un groupe

G

. Le sous-groupe de

G

engendré par

U

est le plus petit sous-groupe de

G

contenant

U

. On dit aussi que

G

est engendré par

U

Exercice

Quel est le sous-groupe de

Is (P)

engendré par toutes les réflexions de

P

? par les symétries centrales ?

Exercice

T

est un triangle équilatéral de centre de gravité

A

, quel est le sous-groupe de

Is (T)

engendré par la rotation d'angle

2 π / 3

de centre

A

? Par deux de ses réflexions ?

Exercice

R

est un rectangle, donner un ensemble de générateurs de

Is (R)

(le moins possible). Faire de même pour un carré.

Exercice

Étudier le sous-groupe de

{GL}_{2} (ℂ)

engendré par les matrices

(\begin{matrix} i & 0 \\ 0 & - i \end{matrix})

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix})

. Combien a-t-il d'éléments ? Quel ordre ont-ils ? Donner la table de multiplication.

IV-1 Groupes d'isométries ou de symétrie
IV-2 Sous-groupes et ordre
IV-3 Sous-groupe engendré
IV-4 Groupe cyclique
IV-5 Morphismes de groupes
IV-6 Sous-groupes invariants
IV-7 Les groupes d'isométries du plan qui sont finis
IV-8 Exercices
IV-9 Coloriages
IV-10 Groupe ponctuel

IV-4 Groupe cyclique

Géométrie du plan → IV Groupes et groupes d'isométrie → IV-4 Groupe cyclique

Définition

Un groupe cyclique est un groupe engendré par un élément.

Exemple

Le groupe

C_{n}

engendré par la rotation

r

de centre

A

et d'angle

2 π / n

est un groupe d'ordre

n

. Compléter la table de groupe pour

n = 7

, pour

n = 8

	$id$	$r$	$r^{2}$	$r^{3}$	$r^{4}$	$r^{5}$	$r^{6}$
$id$
$r$
$r^{2}$
$r^{3}$
$r^{4}$
$r^{5}$
$r^{6}$

	$id$	$r$	$r^{2}$	$r^{3}$	$r^{4}$	$r^{5}$	$r^{6}$	$r^{7}$
$r$
$r^{2}$
$r^{3}$
$r^{4}$
$r^{5}$
$r^{6}$
$r^{7}$

IV-1 Groupes d'isométries ou de symétrie
IV-2 Sous-groupes et ordre
IV-3 Sous-groupe engendré
IV-4 Groupe cyclique
IV-5 Morphismes de groupes
IV-6 Sous-groupes invariants
IV-7 Les groupes d'isométries du plan qui sont finis
IV-8 Exercices
IV-9 Coloriages
IV-10 Groupe ponctuel

IV-5 Morphismes de groupes

Géométrie du plan → IV Groupes et groupes d'isométrie → IV-5 Morphismes de groupes

Définition

Un homomorphisme de groupes d'un groupe

G_{1}

dans un groupe

G_{2}

(notés tous deux multiplicativement) est une application

f

G_{1}

dans

G_{2}

telle que

f (g_{1} g_{2}) = f (g_{1}) f (g_{2})

pour tous

g_{1}

g_{2}

dans

G_{1}

.
Un isomorphisme de groupes est un homomorphisme de groupes qui est bijectif. On dit alors que les groupes

G_{1}

G_{2}

sont isomorphes.

Exercice

Soient

A

B

deux points de

P

. Soient

Is (A)

Is (B)

les groupes de symétrie laissant fixe

A

B

respectivement. Déterminer explicitement un isomorphisme de

Is (A)

sur

Is (B)

Exemple

G

agit sur un ensemble

X

, l'application

G \to Bij (X)

qui à

g \in G

associe la bijection de

X

x \in X \mapsto g \dot{x} \in X

est un homomorphisme de groupes.

Exercice

Nombre d'isométries

IV-1 Groupes d'isométries ou de symétrie
IV-2 Sous-groupes et ordre
IV-3 Sous-groupe engendré
IV-4 Groupe cyclique
IV-5 Morphismes de groupes
IV-6 Sous-groupes invariants
IV-7 Les groupes d'isométries du plan qui sont finis
IV-8 Exercices
IV-9 Coloriages
IV-10 Groupe ponctuel

IV-6 Sous-groupes invariants

Géométrie du plan → IV Groupes et groupes d'isométrie → IV-6 Sous-groupes invariants

Définition

Un sous-groupe normal ou sous-groupe distingué ou sous-groupe invariant

H

d'un groupe

G

est un sous-groupe de

G

tel que

g H g^{- 1} = H

pour tout

g \in G

Exemple

Le sous-groupe des rotations ${Is}_{A}^{+} (P)$ est un sous-groupe distingué du groupe ${Is}_{A} (P)$ , puisque le transformé d'une rotation de centre $A$ par une isométrie laissant fixe $A$ est encore une rotation de centre $A$ .
Par contre le transformé d'une rotation de centre $A$ par une translation par un vecteur non nul n'est pas une rotation de centre $A$ . Donc ${Is}_{A}^{+} (P)$ n'est pas distingué dans $Is (P)$ .

Exercice

Pour les groupes

{GL}_{2} (ℝ)

GA (P)

{Is}_{A} (P)

{Is}_{A}^{+} (P)

{Is}^{+} (P)

Is (P)

, écrire les relations d'inclusion qui existent entre eux et pour chacune d'entre elles, dire si le plus petit est un sous-groupe distingué du plus gros.

Exercice

Soit

F

une figure (un ensemble de points). Alors

g Is (F) g^{- 1} = Is (g (F))

. Soit

G

un sous-groupe de symétrie contenant

Is (F)

. Alors,

Is (F)

est distingué dans

G

si et seulement si

F

g (F)

ont même groupe de symétrie pour tout

g \in G

Trouver le sous-groupe de symétrie de figures

IV-1 Groupes d'isométries ou de symétrie
IV-2 Sous-groupes et ordre
IV-3 Sous-groupe engendré
IV-4 Groupe cyclique
IV-5 Morphismes de groupes
IV-6 Sous-groupes invariants
IV-7 Les groupes d'isométries du plan qui sont finis
IV-8 Exercices
IV-9 Coloriages
IV-10 Groupe ponctuel

IV-7 Les groupes d'isométries du plan qui sont finis

Géométrie du plan → IV Groupes et groupes d'isométrie → IV-7 Les groupes d'isométries du plan qui sont finis

Proposition

Soit

G

un groupe fini du groupe des isométries de

P

. Il existe un point

A

P

qui est fixe par tous les éléments de

G

g (A) = A \forall g \in G .

Démonstration

On prend un point $B$ dans le plan et on construit les images de $B$ par tous les éléments de $G$ . Comme $G$ est fini formé de $n$ isométries $g_{1}$ , ..., $g_{n}$ , on obtient ainsi $n$ points
$B_{1} = g_{1} (B), B_{2} = g_{2} (B), . . ., B_{n} = g (B) .$
Soit $A$ l'isobarycentre de $B_{1}$ , ..., $B_{n}$ .
Appliquons à $A$ n'importe lequel des éléments $g$ de $G$ . Alors, l'ensemble des $g g_{j}$ est l'ensemble des éléments de $G$ qui se trouvent sur la ligne correspondant à $g$ dans le tableau de la loi, c'est donc en fait exactement tous les $g_{j}$ mais dans un ordre différent. Donc l'isobarycentre des $g (B_{j})$ est l'isobarycentre des $B_{j}$ c'est-à-dire $B$ .
Il reste à voir que l'image par $g$ de $A$ est aussi l'isobarycentre des $g (B_{i})$ . Toute isométrie est le composé d'une translation et d'une isométrie laissant fixe un point. On vérifie que cela est vrai pour deux telles isométries et donc pour leur composé.
Donc $g (A) = A$ .

Théorème

Soit

G

un sous-groupe fini du groupe des isométries laissant fixe un point

A

. Alors,

G

est l'un des groupes suivants pour un entier

n

le sous-groupe de ${Is}^{+} (P)$ engendré par la rotation de centre $A$ et d'angle $2 π / n$ ;
le sous-groupe de $Is (P)$ engendré par la rotation de centre $A$ et d'angle $2 π / n$ et une réflexion axiale d'axe passant par $A$ .

Corollaire

Si le groupe de symétrie

G

d'une figure est fini, il existe un point du plan

A

et un entier

n

tel que

G

soit

soit le sous-groupe de ${Is}^{+} (P)$ engendré par la rotation de centre $A$ et d'angle $2 π / n$ ,
soit le sous-groupe de $Is (P)$ engendré par la rotation de centre $A$ et d'angle $2 π / n$ et une réflexion axiale d'axe passant par $A$ (on l'appelle groupe diédral).

Ainsi, si le groupe de symétrie d'une figure est fini et s'il contient une réflexion, c'est un groupe diédral.

IV-1 Groupes d'isométries ou de symétrie
IV-2 Sous-groupes et ordre
IV-3 Sous-groupe engendré
IV-4 Groupe cyclique
IV-5 Morphismes de groupes
IV-6 Sous-groupes invariants
IV-7 Les groupes d'isométries du plan qui sont finis
IV-8 Exercices
IV-9 Coloriages
IV-10 Groupe ponctuel

IV-8 Exercices

Géométrie du plan → IV Groupes et groupes d'isométrie → IV-8 Exercices

Exercice

Le groupe du deuxième type (groupe diédral

D_{n}

) est un groupe d'ordre

2 n

. Construire sa table de groupe pour

n = 4

	$id$	$r$	$r^{2}$	$r^{3}$	$s$	$sr$	${sr}^{2}$	${sr}^{3}$
$id$
$r$
$r^{2}$
$r^{3}$
$s$
${sr}^{2}$
${sr}^{3}$
${sr}^{4}$

	$id$	$r$	$r^{2}$	$r^{3}$	$r^{4}$	$s$	$sr$	${sr}^{2}$	${sr}^{3}$	${sr}^{4}$
$id$
$r$
$r^{2}$
$r^{3}$
$r^{4}$
$s$
$sr$
${sr}^{2}$
${sr}^{3}$
${sr}^{4}$

Exercice

De quel type est le groupe du triangle ? du rectangle ? du losange ? d'un pentagone régulier ?

Exercice

Calcul dans le groupe diédral
Trouver le groupe de symétrie de figures

Exercice

Dessiner un ensemble

F

dont le groupe d'isométries est formé exactement des rotations d'angle un multiple entier de

2 π / 5

et de centre un point

O

Exercice

Dessiner un ensemble

F

dont le groupe d'isométries positives est formé exactement des rotations d'angle un multiple entier de

2 π / 5

de centre

O

et dont le groupe des isométries contient une symétrie axiale passant par

O

. Quel est le nombre d'éléments du groupe d'isométries de

F

IV-1 Groupes d'isométries ou de symétrie
IV-2 Sous-groupes et ordre
IV-3 Sous-groupe engendré
IV-4 Groupe cyclique
IV-5 Morphismes de groupes
IV-6 Sous-groupes invariants
IV-7 Les groupes d'isométries du plan qui sont finis
IV-8 Exercices
IV-9 Coloriages
IV-10 Groupe ponctuel

IV-9 Coloriages

Géométrie du plan → IV Groupes et groupes d'isométrie → IV-9 Coloriages

Nous allons ici montrer quelques coloriages d'un polygone

P_{n}

régulier à

n

côtés compatibles (en un sens à définir) avec son groupe de symétrie.

IV-9-1 Que colorier

IV-9-2 Comment colorier

IV-9-3 Stabilisateur d'une couleur

IV-9-4 Comment construire les coloriages

IV-9-5 Exercices

IV-1 Groupes d'isométries ou de symétrie
IV-2 Sous-groupes et ordre
IV-3 Sous-groupe engendré
IV-4 Groupe cyclique
IV-5 Morphismes de groupes
IV-6 Sous-groupes invariants
IV-7 Les groupes d'isométries du plan qui sont finis
IV-8 Exercices
IV-9 Coloriages
IV-10 Groupe ponctuel

IV-9-1 Que colorier

Géométrie du plan → IV Groupes et groupes d'isométrie → IV-9 Coloriages → IV-9-1 Que colorier

On peut imaginer de colorier ses sommets ou ses côtés. Mais artistiquement, ce n'est pas très satisfaisant. Aussi allons-nous d'abord associer à un sommet ou à un côté un petit triangle ou quadrilatère dont un des sommets est au centre de gravité du polygone.

On trouve

n

triangles. Le groupe de symétrie de

P_{n}

est d'ordre

2 n

. Le stabilisateur d'un sommet, c'est-à-dire le sous-groupe des isométries qui stabilisent (laissent fixe) ce sommet, est formé de l'identité et de la symétrie par rapport à la droite passant par ce sommet et par le centre de

P_{n}

.
On peut aussi vouloir colorier les couples formés d'un sommet et d'un côté qui le contient. On obtient alors

2 n

triangles.

Exercice

Prenons un couple

(x, y)

de sommets ou de côtés. Montrer qu'il existe une isométrie de

Is (P_{n})

qui envoie

x

sur

y

On dit que

Is (P_{n})

agit transitivement sur l'ensemble des sommets (ou l'ensemble des côtés).

IV-9-1 Que colorier
IV-9-2 Comment colorier
IV-9-3 Stabilisateur d'une couleur
IV-9-4 Comment construire les coloriages
IV-9-5 Exercices

IV-9-2 Comment colorier

Géométrie du plan → IV Groupes et groupes d'isométrie → IV-9 Coloriages → IV-9-2 Comment colorier

Nous allons colorier ces triangles de manière régulière, ce qui signifie que ce coloriage doit être compatible avec la définition abstraite suivante :

Définition

Soit

G

un groupe opérant transitivement sur un ensemble

X

, (si

x

y

sont dans

X

y

est l'image de

x

par un élément de

G

). Un coloriage de

X

compatible avec

G

est une famille de sous-ensembles

X_{i}

X

formant une partition : la réunion des $X_{i}$ est $X$ et les ensembles $X_{i}$ sont disjoints deux à deux : $X_{i} \cap X_{j} = \emptyset$ ;
tel que pour tout $g \in G$ et pour tout $i$ , $g (X_{i})$ est un des $X_{j}$ de la famille.

Voici des exemples de bons coloriages (compatibles au groupe d'isométries du polygone).

et voici des exemples de mauvais coloriages

IV-9-1 Que colorier
IV-9-2 Comment colorier
IV-9-3 Stabilisateur d'une couleur
IV-9-4 Comment construire les coloriages
IV-9-5 Exercices

IV-9-3 Stabilisateur d'une couleur

Géométrie du plan → IV Groupes et groupes d'isométrie → IV-9 Coloriages → IV-9-3 Stabilisateur d'une couleur

x

est dans

X

, on note

X (x)

la "couleur" de

x

, c'est-à-dire l'ensemble

X_{i}

auquel appartient

x

. On peut associer à ce coloriage un sous-groupe de

Is (P_{n})

: le stabilisateur d'une couleur, c'est-à-dire, si on prend comme couleur

X_{i}

, l'ensemble des

h \in Is (P_{n})

tel que

h (X_{i}) = X_{i}

. On le note

Stab (X_{i})

.
On a la propriété suivante

Proposition

Soient

x_{0} \in X_{i}

g \in Is (P_{n})

. Si

{gx}_{0}

appartient à

X_{i}

, alors

g

appartient à

Stab (X_{i})

Démonstration

Puisque

x_{0}

{gx}_{0}

appartiennent à

X_{i}

, l'intersection

X_{i} \cap {gX}_{i}

est non vide. Donc par définition d'un coloriage,

X_{i} = {gX}_{i}

g

est donc dans le stabilisateur de

X_{i}

En particulier, si

{gx}_{0} = x_{0}

, c'est-à-dire si

g

est dans le stabilisateur de

x_{0}

g

est dans le stabilisateur de la couleur de

x_{0}

Stab (x_{0}) \subset Stab (X (x_{0})) .

Choisissons une couleur

X_{0}

et soit

H = Stab (X_{0})

son stabilisateur. Les autres couleurs

X_{i}

sont de la forme

g_{i} X_{O}

pour un certain

g_{i} \in Is (P_{n})

et le stabilisateur de

X_{i}

est

Stab (X_{i}) = g_{i} Stab (X_{0}) g_{i}^{- 1} .

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IV-9-2 Comment colorier
IV-9-3 Stabilisateur d'une couleur
IV-9-4 Comment construire les coloriages
IV-9-5 Exercices

IV-9-4 Comment construire les coloriages

Géométrie du plan → IV Groupes et groupes d'isométrie → IV-9 Coloriages → IV-9-4 Comment construire les coloriages

Nous allons donner une méthode de construction de coloriages de

X

pour

X

l'ensemble des sommets, ou des côtés, ou des couples sommets/côtés, en partant d'un sous-groupe de

Is (P_{n})

Choisissons un élément $x_{0}$ de $X$ et un sous-groupe $H$ de $Is (P_{n})$ . D'après ce qu'on vient d'étudier, pour que $H$ puisse être le stabilisateur de la couleur de $x$ , il est nécessaire que $H$ contienne le stabilisateur de $x_{0}$ (qui est le sous-groupe engendré par une réflexion dans le cas des sommets ou des côtés et le groupe trivial dans le cas des sommets/côtés). On le suppose donc.
Soit $X_{0} = {Hx}_{0}$ . Vérifions que les ${gX}_{0}$ pour $g \in Is (P_{n})$ vérifient la propriété des coloriages. Notons les ensembles distincts $X_{i} = g_{i} X_{0}$ pour $i = 1 . . . m$ . Comme $Is (P_{n})$ agit transitivement sur $X$ , la réunion des ${gX}_{0}$ est tout $X$ . Il reste à montrer que si ${gX}_{i} \cap X_{j}$ est non vide, alors ${gX}_{i} = X_{j}$ . Soit $y$ un élément de ${gX}_{i} \cap X_{j}$ , on a donc en écrivant tout ce qu'on sait,
$y = g g_{i} h_{1} x_{0} = g_{j} h_{2} x_{0}$
avec $h_{1}$ et $h_{2}$ appartenant à $H$ . D'où
$h_{2}^{- 1} g_{j}^{- 1} g g_{i} h_{1} x_{0} = x_{0}$
ce qui implique que $h_{2}^{- 1} g_{j}^{- 1} g g_{i} h_{1}$ appartient au stabilisateur de $x_{0}$ , donc à $H$ . Donc, $h = g_{j}^{- 1} g g_{i} \in H$ et
$g g_{i} X_{0} = g_{j} h X_{0} = g_{j} X_{0} .$
Ainsi, les sous-ensembles $({gHx}_{0})$ pour $g \in Is (P_{n})$ forment bien un coloriage de $X$ .

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IV-9-4 Comment construire les coloriages
IV-9-5 Exercices

IV-9-5 Exercices

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Exercice

Trouver tous les coloriages obtenus ainsi pour un carré, un hexagone, un nonagone. Dans chacun des cas, regarder si le stabilisateur d'une couleur est indépendant de la couleur ou non. Dans le premier cas, quelle propriété de ce sous-groupe en découle-t-il ?

Exercice

Coloriages de polygones

Exercice

Pour récapituler :

On considère un polygone régulier $P$ à 9 côtés. Décrire son groupe de symétrie $Is (P)$ (nom, nombre d'éléments, générateurs, ...)
On trace les triangles dont un sommet est au centre du polygone et tel que le côté opposé à ce sommet soit un demi-côté (allant d'un sommet au milieu des côtés dont il est l'extrémité). Combien y a-t-il de tels triangles ?
Soit $r$ une rotation d'angle $2 π / 3$ et $H$ le sous-groupe qu'il engendre dans $Is (P)$ . Dessiner un coloriage de ces triangles construit associé à $H$ . Combien de couleurs faut-il ? Dessiner tous les coloriages à deux ou trois couleurs compatibles avec $Is (P)$ et donner le stabilisateur d'une des couleurs dans chaque cas.

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IV-9-5 Exercices

IV-10 Groupe ponctuel

Géométrie du plan → IV Groupes et groupes d'isométrie → IV-10 Groupe ponctuel

Soit

A

un point de

P

g

g'

deux isométries. Écrivons-les comme

g = t_{v} \circ g_{A}

g' = t_{v'} \circ g'_{A}

avec

v

v'

des vecteurs,

g_{A}

g'_{A}

des isométries laissant fixe

A

. Cette écriture est unique.

Proposition

Comportement par composition : $g \circ g' = t_{\overset{⇀}{w}} \circ g_{A} \circ g'_{A}$ pour un vecteur $\overset{⇀}{w}$ .
Soit $G$ un groupe d'isométries et soit $G_{ponct, A}$ l'ensemble des isométries laissant fixe $A$ obtenues de la manière précédente à partir des éléments de $G$ . Alors, $G_{ponct, A}$ est un groupe.
Si $B$ est un autre point de $P$ et si $t$ la translation de vecteur $\vec{A B}$ (ainsi, $t (A) = B$ ), on a
$G_{ponct, B} = t \circ G_{ponct, A} \circ t^{- 1} .$

Exercice

Soit

R

un rectangle. Soit

G = Is (R)

son groupe de symétrie. Si

A

est le point d'intersection de ses diagonales, que vaut

G_{ponct, A}

? Si

B

est un point qui n'est pas le point d'intersection de ses diagonales, que vaut

G_{ponct, B}

? Quel est son ordre ?

Attention, il n'y a aucune raison que

G_{ponct, A}

soit contenu dans

G

. Un premier exemple de cette situation est le suivant : soit

G

le groupe engendré par la rotation de centre

B

et d'angle

2 π / 5

;

G_{ponct, A}

est engendré par la rotation de centre

A

et d'angle

2 π / 5

. Mais cet exemple est un peu artificiel ...

Définition

Soit

G

un groupe d'isométries et

O

un point du plan. Le groupe de symétrie ponctuel ou groupe de symétrie vectoriel est par définition l'ensemble des isométries

g_{O}

pour

g \in G

Si l'on peut, on choisit l'origine de manière à simplifier les calculs. Modulo conjugaison, le groupe ponctuel qu'on note abusivement

G_{ponct}

n'en dépend pas.
Par exemple, si

F

est une figure dont le groupe d'isométrie est fini, le meilleur choix pour calculer son groupe ponctuel est bien sûr le centre de gravité

G

F

. Avec ce choix,

{Is}_{ponct, G} (F) = Is (F)

Exercice

Groupe ponctuel d'une frise

IV-1 Groupes d'isométries ou de symétrie
IV-2 Sous-groupes et ordre
IV-3 Sous-groupe engendré
IV-4 Groupe cyclique
IV-5 Morphismes de groupes
IV-6 Sous-groupes invariants
IV-7 Les groupes d'isométries du plan qui sont finis
IV-8 Exercices
IV-9 Coloriages
IV-10 Groupe ponctuel

cours de géométrie plane et introduction aux groupes de la géométrie.
: plane,isometries, pappus,desargues,group_theory,ceva,barycenter,groupe de symétrie,symmetry, interactive mathematics, interactive math, server side interactivity

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Description: cours de géométrie plane et introduction aux groupes de la géométrie. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games at University of Chieti-Pescara
Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, geometry, plane,isometries, pappus,desargues,group_theory,ceva,barycenter,groupe de symétrie,symmetry

		$A F^{2} + E G \times G H$ = $F G^{2} = F B^{2}$
		Or $F B^{2} = F A^{2} + A B^{2}$ :
donc $E G \times G H = A B^{2}$
et $E G \times G H = A B^{2}$