OEF Fonctions de plusieurs variables
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 13 exercices sur
les fonctions de plusieurs variables.
Approximation linéaire
Soit
la fonction de
dans
définie par
.
Donner l'approximation linéaire de
au point
. Si elle n'existe pas, répondre non.
Approximation linéaire 2
Soit
la fonction de
dans
définie par
.
Donner l'approximation linéaire de
au point
.
Champ scalaire 2D
Soit le champ scalaire donnant en un point
de
donné par
.
Calculer au point ( , ).
Donner l'équation de la courbe de niveau de constante
La région du plan où est est
Dérivées directionnelles
Soit
une fonction
de
dans
et
et
deux vecteurs de
définis par
.
Connaissant les dérivées partielles
et
de
dans les deux directions
et
au point
, peut-on calculer la dérivée partielle de
en
dans n'importe quelle direction?
Soit
le vecteur défini par
. Calculer la dérivée de
dans la direction de
, sachant que l'on a :
avec
,
.
En effet, ce n'est possible car les vecteurs
et
sont liés.
Est-il possible d'avoir
,
avec
?
Composition I, dérivées partielles
Soit
une fonction de deux variables
et
de
dans
et
la fonction de
dans
définie par
.
Calculer la dérivée partielle de
selon
.
(x,y)=
(
,
) +
(
,
)
Dérivées partielles 1
Calculer les dérivées partielles de la fonction définie par
.
Dérivées partielles 2
Calculer
pour la fonction
définie par
.
Composition II Dérivées partielles
Soit
une fonction de deux variables
et
de
dans
et
la fonction de
dans
définie par
.
Calculer la dérivée seconde de
selon
.
=
(
,
) +
+
+
+
= (
)
+
(
,
)
+ (
)
+ (
)
+
=
+ (
)
+
(
,
) + (
)
+
Formule de Taylor (1)
Soit
une fonction
sur
à valeurs réelles.
Ecrire la formule de Taylor- à l'ordre 1 au point
. Si besoin,
est un point convenable tel que
,
,
est une fonction tendant vers 0 lorsque
tend vers et
tend vers .
Pour donner la réponse, ne pas faire preuve d'originalité et écrire les termes dans l'ordre standard !
En effet la formule de Taylor- à l'ordre 1 au point
s'écrit
avec
une fonction tendant vers 0 lorsque
tend vers et
tend vers
où
est un point convenable vérifiant
,
On suppose que
pour tout
vérifiant
,
. Avec ces renseignements, la formule de Taylor écrite est-elle utilisable pour donner une majoration de
pour
,
? Si oui, donner la meilleure majoration possible à partir des données. Sinon, répondre non
Formule de Taylor (2)
Soit
une fonction
sur
à valeurs réelles.
Ecrire la formule de Taylor- à l'ordre 2 au point
(si besoin,
est un point convenable tel que
,
,
est une fonction tendant vers 0 lorsque
tend vers et
tend vers ) :
Pour donner la réponse, ne pas faire preuve d'originalité et écrire les termes dans l'ordre standard !
En effet la formule de Taylor- à l'ordre 2 au point
s'écrit
avec
une fonction tendant vers 0 lorsque
tend vers et
tend vers
où
est un point convenable vérifiant
,
Soit
la fonction affine définie par
On suppose que
pour tout
vérifiant
,
. Avec ces renseignements, la formule de Taylor écrite est-elle utilisable pour donner une majoration de
pour
,
? Si oui, donner la meilleure majoration possible à partir des données. Sinon, répondre non.
Variation d'une boîte II
La largeur
, la longueur
et la hauteur
d'une boîte varient dans le temps. A un moment donné, les dimensions sont
,
et
et la largeur
à raison de
, la longueur
à raison de
et la hauteur
à raison de
. Déterminer la vitesse d'augmentation à cet instant.
On donnera l'unité.
Variation d'une boîte II
La largeur
, la longueur
et la hauteur
d'une boîte varient dans le temps. A un moment donné, les dimensions sont
,
et
et la largeur
à raison de
, la longueur
à raison de
et la hauteur
à raison de
. Déterminer la vitesse d'augmentation à cet instant.
On donnera l'unité.
Variation de résistances I
Dans un circuit électrique, trois résistances
,
et
sont en parallèle. Les trois résistances varient en fonction du temps. A un moment donné
, elles valent
ohms,
ohms et
ohms. Soit
la fonction donnant la résistance équivalente en fonction du temps.
Donner l'expression de la dérivée de
en
=
+
+
On a
=
+
+
En
,
à raison de ohms/s,
à raison de ohms/s et
à raison de ohms/s. Calculer la vitesse d'augmentation de la résistance équivalente à cet instant. (Pour la vitesse, on donnera l'unité.)
L'exercice a plusieurs étapes.
The most recent version
Cette page n'est pas dans son apparence habituelle parce que
WIMS n'a pas pu reconnaître votre navigateur web.
Veuillez noter que les pages WIMS sont générées interactivement; elles ne
sont pas des fichiers
HTML ordinaires. Elles doivent être utilisées interactivement EN LIGNE.
Il est inutile pour vous de les ramasser par un programme robot.
- Description: collection d'exercices sur les fonctions de plusieurs variables. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games at University of Chieti-Pescara
- Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, analysis, calculus, multivariable_function,taylor_expansion, partial_derivative