DOC Equations différentielles ordre1

Plan du chapitre

Dans les exemples du cours, en cliquant sur

, vous obtiendrez un nouvel exemple avec d'autres valeurs numériques.

Dans le cours et les exemples, $y$ est une fonction de la variable $t$ . Dans les exercices, la variable peut être soit $t$ , soit $x$ .

Remarque concernant l'écriture des réponses aux exercices : entre $k$ et $e$ il faut écrire le signe * de multiplication, ou laisser un espace.
Pour donner la réponse $k e^{3 t}$ , on écrira : k*e^(3t) ou k e^(3t), ou encore k exp(3t), mais pas ke^(3t).

Introduction

I. Equations différentielles de la forme

y' = λ y

Solution générale de l'équation $y' = λ y$
Solution vérifiant une condition initiale

II. Equations différentielles de la forme

ay' + by = g (t)

Théorème fondamental
Vérification qu'une fonction donnée est une solution particulière
Recherche d'une solution particulière de forme donnée
Résolution de l'équation "avec second membre"
Conditions initiales

III Equations différentielles de la forme

a (t) y' + b (t) y = g (t)

Solution générale de $a (t) y' + b (t) y = 0$
Exemples complets

Introduction

Une équation différentielle du premier ordre est une équation dont l'inconnue est une fonction, et où intervient la dérivée de cette fonction.

Dans ce cours l'inconnue sera une fonction

y

de la variable

t

, et sa dérivée sera donc notée

y'

Pour savoir si une fonction donnée $f$ est solution ou non d'une équation différentielle $(E)$ , il suffit donc de remplacer $y$ par $f (t)$ et $y'$ par $f' (t)$ dans le premier membre de l'équation différentielle et de voir, après simplification, si on retrouve le second membre.

Un exemple :

La fonction

h^{}

définie par

h (t) =^{}

est-elle solution de l'équation différentielle :

=^{}

La dérivée de

h (t) =

est

h' (t) = =

On a donc : $=$ = $^{}$ .

On ne retrouve pas le second membre de l'équation différentielle $=^{}$ $^{}$ .

Ceci prouve que la fonction $h^{}$ définie par $h (t) =^{}$ n'est pas une solution de $=^{}$ .

Première partie

Equations différentielles de la forme $y' = λ y$

1. Solution générale de l'équation $y' = λ y$

Théorème :
L'équation différentielle

y' = λ y

admet comme solutions les fonctions

y

définies par :

y (t) = k e^{λ t}

où

k

est une constante réelle quelconque.

Il y a donc une infinité de solutions à cette équation.

Remarque importante : ce théorème permet également de résoudre toutes les équations différentielles de la forme $ay' + by = 0$

Un exemple :

y

désigne une fonction de la variable

t

Résoudre l'équation différentielle : $- 2 y = - 8 y'$ .

L'équation

- 2 y = - 8 y'

est équivalente à

y' = y

.
L'équation différentielle

y' = y

est de la forme

y' = λ y

où

λ =

.
Les solutions de

- 2 y = - 8 y'

sont donc les fonctions

y =

, où

k

est une constante réelle.

Exercice

2. Condition initiale

Une équation différentielle de la forme

y' = λ y

admet une infinité de solutions dépendant d'une constante

k

. Parmi celles-ci, il en existe une et une seule qui vérifie une condition initiale de la forme

f (t_{0}) = y_{0}^{}

Un exemple :

Résoudre l'équation différentielle :

y' = - 4 y

, puis déterminer sa solution

f

qui vérifie

f (- 3) = 9

Les solutions de $y' = - 4 y$ sont les fonctions $y$ définies par $y (t) = k e^{- 4 t}$ , où $k$ est une constante réelle.

$f$ est une solution de cette équation, donc $f (t) = k e^{- 4 t}$ .
La condition $f (- 3) = 9$ s'écrit donc $k e^{- 4 \times - 3} = 9$ . On en déduit $k e^{12} = 9$ , puis $k = \frac{9}{e^{12}} = 9 e^{- 12}$ .

Donc $f (t) = 9 e^{- 12} e^{- 4 t} =$

Exercice

Deuxième partie

Equations différentielles de la forme $ay' + by = g (t)$

1. Théorème fondamental

Théorème :

y

désigne une fonction de la variable

t

Soit

(E) : ay' + by = g (t)^{}

une équation différentielle
et

(E_{0}) : ay' + by = 0^{}

l'équation différentielle homogène associée à

(E)

La solution générale de l'équation $(E)$ est la somme d'une solution particulière de $(E)$ et de la solution générale de $(E_{0})$

La méthode pour trouver la solution générale de

(E_{0})

a été étudiée dans la partie I de ce cours.

Selon les sujets, la recherche de la solution particulière peut se présenter sous deux formes :

une fonction $h (t) = . . .$ est donnée dans l'énoncé, et on demande de vérifier que cette fonction est solution de $(E)$
méthode
la "forme" de la fonction $h$ est donnée (avec des paramètres $a$ , $b$ ...) et on demande de déterminer $a$ , $b$ ... pour que $h$ soit solution de $(E)$
méthode

2. Vérifier qu'une fonction donnée est une solution particulière

Pour vérifier que la fonction

h^{}

est une solution particulière de l'équation différentielle

(E) : ay' + by = g (t)^{}

On commence par calculer la dérivée de $h (t)^{}$ c'est à dire $h' (t)^{}$ (et on la simplifie, si possible).
On calcule ensuite $a h' (t) + b h (t)^{}$ , on le simplifie au maximum et ... on retrouve comme par miracle $g (t)^{}$ .

On en déduit alors que $h^{}$ est une solution particulière de $(E)^{}$

Un exemple :

Vérifier que la fonction

h^{}

définie par

h (t) =^{}

est solution de l'équation différentielle :

=^{}

La dérivée de

h (t) =

est

h' (t) =

On a donc : $=$ = $^{}$ .

On retrouve bien le second membre de l'équation différentielle $=^{}$ $^{}$ .

Ceci prouve que la fonction $h^{}$ définie par $h (t) =^{}$ est une solution particulière de $=^{}$ .

3. Déterminer une solution particulière de forme donnée

Pour trouver une solution particulière

h^{}

de l'équation différentielle

(E) : ay' + by = g (t)^{}

quand la forme de la fonction

h (t)^{}

est donnée :

On commence par calculer la dérivée de $h (t)^{}$ : $h' (t)^{}$ (et on la simplifie, si possible).

On calcule ensuite $a h' (t) + b h (t)^{}$ , on le simplifie au maximum en regroupant les termes pour ressembler au maximum à $g (t)^{}$ .

On identifie alors les coefficients entre le résultat trouvé pour $a h' (t) + b h (t)^{}$ et $g (t)^{}$ . On obtient ainsi un système permettant de trouver les paramètres cherchés. On les remplace enfin dans l'expression de $h (t)^{}$ pour conclure.

Un exemple :

Déterminer une fonction

h^{}

de la forme

h (t) = (a t + b) e^{t}^{}

qui soit une solution particulière de l'équation différentielle :

=^{}

La dérivée de

h (t) = (a t + b) e^{t}

est

h' (t) = =

On a donc : $=$ = $^{}$

On identifie avec le second membre de l'équation différentielle $=^{}$ $^{}$ .
En résolvant le système obtenu, on trouve $[\begin{matrix} a = 2 \\ b = 2 \end{matrix}]$ .
La fonction $h (t) =^{}$ est donc une solution particulière de $=^{}$ .

Exercice

4. Résolution de l'équation ay' + by = g(t)

Etapes pour résoudre

(E) : ay' + by = g (t)^{}

écrire l'équation homogène $(E_{0})$ associée : $ay' + by = 0^{}$
résoudre $(E_{0})$ : on appelle "solution générale" de $(E_{0})$ l'ensemble de toutes les solutions de $(E_{0})$ (dépendant d'une constante $k$ )
déterminer une solution particulière de $(E)$
la solution générale de $(E)$ est la somme de cette solution particulière (étape 3) et de la solution générale de $(E_{0})$ (étape 2)

Un exemple :

Résoudre l'équation différentielle

(E)^{}

=^{}

, sachant qu'elle admet une solution

h^{}

de la forme

h (t) = (a t + b) e^{- t}^{}

Résolution de l'équation homogène associée

L'équation homogène associée à

(E) : =^{}

est :

(E_{0}) : = 0^{}

(E_{0})^{}

est équivalente à :

y' = () y^{}

Les solutions de

(E_{0}^{})

sont donc les fonctions

y = k e^{}

, où

k^{}

est une constante réelle.

Recherche d'une solution particulière de $(E)^{}$

La dérivée de

h (t) = (a t + b) e^{- t}

est

h' (t) = =

On a donc : $=$ = $^{}$

On identifie avec le second membre de l'équation différentielle $=^{}$ $^{}$ .
En résolvant le système obtenu, on trouve $[\begin{matrix} a = 3 \\ b = 4 \end{matrix}]$ .
La fonction $h (t) =^{}$ est donc une solution particulière de $=^{}$ .

Solution générale

On ajoute la solution générale de l'équation homogène

(E_{0})

, c'est à dire

y = k e^{}

et une solution particulière de

(E)

, c'est à dire

h (t) =^{}

La solution générale de $(E)$ est donc définie par : $y (t) = + k e^{}$ .

Exercice

5. Résolution avec condition initiale

Comme dans le cas d'une équation homogène, une équation différentielle de la forme

ay' + by = g (t)^{}

admet une infinité de solutions dépendant d'une constante

k

. Parmi celles-ci, il en existe une et une seule qui vérifie une condition initiale de la forme

f (t_{0}) = y_{0}^{}

En écrivant cette condition, on obtient une équation du premier degré d'inconnue $k$ .

Un exemple :

Résoudre l'équation différentielle

(E)^{}

=^{}

, sachant qu'elle admet une solution

h^{}

de la forme

h (t) = a t e^{- 2 t}^{}

Déterminer ensuite la solution $f$ de $(E)$ qui vérifie la condition initiale $f (- 2) = - 1^{}$

Résolution de l'équation homogène associée

L'équation homogène associée à

(E) : =^{}

est :

(E_{0}) : = 0^{}

(E_{0})^{}

est équivalente à :

y' = () y^{}

Les solutions de

(E_{0}^{})

sont donc les fonctions

y = k e^{}

, où

k^{}

est une constante réelle.

Recherche d'une solution particulière de $(E)^{}$

La dérivée de

h (t) = a t e^{- 2 t}

est

h' (t) = =

On a donc : $=$ = $^{}$

On identifie avec le second membre de l'équation différentielle $=^{}$ $^{}$ .
En résolvant le système obtenu, on trouve $[\begin{matrix} a = - 2 \end{matrix}]$ .
La fonction $h (t) =^{}$ est donc une solution particulière de $=^{}$ .

Solution générale

On ajoute la solution générale de l'équation homogène

(E_{0})

, c'est à dire

y = k e^{}

et une solution particulière de

(E)

, c'est à dire

h (t) =^{}

La solution générale de $(E)$ est donc définie par : $y (t) = + k e^{}$ .

Solution $f$ qui vérifie la condition initiale $f (- 2) = - 1^{}$

Puisque $f$ est une solution de $(E)$ , on peut dire qu'il existe une constante $k$ telle que $f$ soit définie par $f (t) = + k e^{}$ .
La condition $f (- 2) = - 1^{}$ s'écrit donc :
, d'où k = -1.
On en déduit k =, puis k =.

En remplaçant k par sa valeur dans l'expression de f, on obtient :

Exercice

III. Equations de la forme a(t) y`'` + b(t) y = g(t)

La seule différence de méthode de résolution entre les équations différentielles de la forme et celles de la forme est la résolution de l'équation homogène .

Tout le reste est similaire.

Méthode de résolution de l'équation homogène

1. Solution générale de a(t) y`'` + b(t) y = 0

Théorème :
L'équation différentielle a(t) y' + b(t) y = 0 admet comme solutions les fonctions y définies par :
, où k est une constante réelle quelconque et où G désigne une primitive de .

Remarque importante : on doit utiliser cette formule dès que les coefficients de y' et de y ne sont pas tous les deux constants.

Un exemple :

Résoudre l'équation différentielle : -3y' - 3t y = 0.

Les coefficients de y et de y' ne sont pas tous les deux constants.

On cherche une primitive de .

Une primitive de est : G(t) =
ce qui donne comme solutions de (E) les fonctions y définies par: où k désigne une constante réelle quelconque.

Exercice

Parmi ces solutions, il en existe une et une seule qui vérifie une condition de la forme f(t₀) = y₀

Exercice

2. Exercice complet (avec étapes)

Exercice

document de cours sur les équations différentielles du premier ordre (niveau BTS).
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Plan du chapitre

Introduction

Première partie

Equations différentielles de la forme y′=λy

1. Solution générale de l'équation y′=λy

2. Condition initiale

Deuxième partie

Equations différentielles de la forme ay′+by=g(t)

1. Théorème fondamental

2. Vérifier qu'une fonction donnée est une solution particulière

3. Déterminer une solution particulière de forme donnée

4. Résolution de l'équation ay' + by = g(t)

Résolution de l'équation homogène associée

Recherche d'une solution particulière de (E)

Solution générale

5. Résolution avec condition initiale

Résolution de l'équation homogène associée

Recherche d'une solution particulière de (E)

Solution générale

Solution f qui vérifie la condition initiale f(−2)=−1

III. Equations de la forme a(t) y' + b(t) y = g(t)

1. Solution générale de a(t) y' + b(t) y = 0

2. Exercice complet (avec étapes)

Equations différentielles de la forme $y' = λ y$

1. Solution générale de l'équation $y' = λ y$

Equations différentielles de la forme $ay' + by = g (t)$

Recherche d'une solution particulière de $(E)^{}$

Recherche d'une solution particulière de $(E)^{}$

Solution $f$ qui vérifie la condition initiale $f (- 2) = - 1^{}$

III. Equations de la forme a(t) y`'` + b(t) y = g(t)

1. Solution générale de a(t) y`'` + b(t) y = 0