OEF Formes bilinéaires --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 10 exercices sur les formes bilinéaires et formes quadratiques.

Base de vecteurs propres

Soit la forme quadratique définie, pour , par
.
.
Entrer la matrice ligne par ligne, les coefficients d'une même ligne sont séparés par des virgules.
La matrice de dans la base canonique est bien .
.
Les valeurs propres de la matrice sont bien . .
Entrer en colonne les composantes des vecteurs de la base, séparées par des virgules.

Formes bilinéaires

Soit l'application définie par

.

avec et .
.

Formes bilinéaires, formes quadratiques

Soit la forme quadratique suivante :
.
Déterminer parmi les choix suivants l'unique forme bilinéaire symétrique telle que pour tout dans .

Formes bilinéaires et matrices

Pour rentrer la matrice, écrire les coefficients ligne par ligne : les coefficients d'une même ligne sont séparés par des virgules.

Invariants d'une conique

Soit la conique

.

Soit .
La forme quadratique est-elle ou ?
Déterminer le centre de la conique et le réel tel que

Ainsi dans le repère affine dont l'origine est le centre ( , ) de la conique, la conique a comme équation

Déterminer la signature de . Une des valeurs propres de est 0. Calculer la seconde valeur propre et donner une base de vecteurs propres vérifiant les conditions suivantes : Soient les coordonnées dans la base ( , ). Déterminer et pour que

.

La conique a comme équation .

Quelle est la nature de la conique ?

Formes quadratiques équivalentes

Soit la forme quadratique définie, pour , par

.

Indiquer laquelle des formes quadratiques suivantes est équivalente à

    • Rang d'une forme quadratique

    Soit , la forme quadratique définie pour par

    .

    et .
    Voici la matrice de sous forme utilisable dans les outils : .

    Réduction de Gauss

    Soit la forme quadratique définie pour par

    .

    Déterminer une décomposition de Gauss de
    .

    Signature d'une forme quadratique

    Soit , la forme quadratique définie pour par

    .

    1. Déterminer les valeurs propres de la matrice associée à .
    2. Calculer sa signature de Q.
    Voici la matrice de sous forme utilisable dans les outils :

    Signature et rang

    Soit une forme quadratique sur .
    et .
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