OEF Géométrie 2D --- Introduction ---

Ce module regroupe pour l'instant 36 exercices sur la géométrie plane, les isométries du plan et les groupes d'isométries du plan.

Les trois versions de l'exercice Propriétés des isométries concernent les types suivants :

  1. Translation, symétrie centrale, réflexion ;
  2. Translation, symétrie centrale, réflexion, symétrie glissée ;
  3. Translation, symétrie centrale, réflexion, symétrie glissée, rotation.

Axe d'une symétrie glissée

Voici quatre points , , , tels que la distance de à soit égale à la distance de à . Il existe une symétrie (ou une symétrie glissée) telle que et telle que .
Cliquer sur l'axe de glissage de cette symétrie.

C'est une symétrie . C'est une symétrie glissée. Dessiner le vecteur de translation en partant du point

Birapport

Quel est le birapport des quatre points ?
En effet le birapport des quatre points est égal à .

Soit une droite telle que le point soit le barycentre de et (le dessin n'est donc pas conforme). Ecrire le point comme barycentre des points et = * + *

La somme des poids devra être égale à 1.

Barycentres dans un triangle (Ceva)

Dans la figure suivante, le point est le barycentre de et de . Le point est le barycentre de et de .

Alors, est le barycentre de ( , ) et de ( , ).

Changement de repère affine

On considère dans les points , et .
Donner les coordonnées du point dans le repère +

Aires de triangle II

Voici deux triangles. Le premier est d'aire . Calculer l'aire de l'autre :
Aire = Aire =

Composé rotation - réflexion

On désire calculer le composé de la rotation de centre et d'angle degrés et de la réflexion d'axe .
On écrit comme le composé de deux réflexions d'axe et avec la droite parallèle à et passant par le centre de la rotation .

.

On a

L'isométrie est une translation

L'isométrie est une translation et est le composé d'une symétrie et d'une translation. C'est une symétrie glissée.
  1. La droite est tracée en vert, tracer la droite .
  2. Tracer la droite
  3. Cliquer sur la projection de sur la droite
  4. Tracer l'axe de glissage de

Conjugué harmonique

Placer sur la droite un point tel que le birapport de , , , soit (on dit que est le conjugué harmonique de par rapport à et ). On tracera une droite issue de dont l'intersection avec la droite est ce point .

Isométries du plan : décomposition

Le motif entouré d'un cercle est le transformé du motif centré en par une isométrie du plan affine.
L'isométrie est .

On peut écrire l'isométrie comme le composé d'une translation et d'une rotation de centre symétrie dont l'axe passe par .

L'angle de la rotation est (compris entre 0 et , il s'agit d'angles "remarquables"). L'équation de la droite est .
Le vecteur de la translation est .

Rotation : produit de réflexions

On désire décomposer la rotation de centre et d'angle degrés comme le composé de deux réflexions

.

La droite est tracée en rouge, tracer la seconde droite .

Calcul dans le groupe diédral

Soit la rotation de centre 0 et d'angle et soit la réflexion orthogonale par rapport à la droite . Soit .

Alors est une . La s'écrit . C'est la réflexion orthogonale par rapport à la droite de numéro . s'écrit . C'est la rotation d'angle .
Consigne : l'exposant de doit être un entier positif inférieur à l'ordre de la rotation . L'angle doit être compris entre 0 et

Sous-groupes de symétrie

Le dessin de gauche a comme groupe de symétrie le groupe d'un composé des éléments :

.

Dans le dessin de gauche , on a brisé la symétrie. Quel est son sous-groupe de symétrie ?

Regarder si les pour ont tous le même groupe de symétrie : le sous-groupe trouvé est-il distingué dans ?

Droites invariantes

Cochez toutes les propriétés vérifiées par l'isométrie du plan affine quand est .

Devinez la nature d'une isométrie affine

Le point est l'image de par une isométrie affine. Quelle est la nature de cette isométrie ?
, , ,
Si vous ne voyez pas le point , faites bouger le point .

Pions 1

Voici des pions. La distance entre deux pions est la distance entre leurs centres.
Les petits carrés sont de longueur 1.

Pions 2

Voici des pions. La distance entre deux pions est la distance entre leurs centres.
Les petits carrés sont de longueur 1.

Pions 3

Voici des pions. La distance entre deux pions est la distance entre leurs centres.
Donner toutes les distances possibles entre deux pions.
Ecrire sqrt(a) pour la racine carrée de .
Les petits carrés sont de longueur 1.

Pions 4

Voici des pions. La distance entre deux pions est la distance entre leurs centres. Cliquer sur un pion qui est à distance du pion violet.
Les petits carrés sont de longueur 1.

Symétrie glissée

Soit la symétrie d'axe la droite d'équation et la translation de vecteur .
L'isométrie est une . Dans la décomposition canonique de la symétrie glissée L'équation de l'axe de la symétrie l'équation de l'axe de la symétrie est
  • le vecteur de la translation est

    • Symétrie glissée 0

    Soit la symétrie d'axe la droite d'équation et la translation de vecteur .
    L'isométrie est une . Dans la décomposition canonique de la symétrie glissée L'équation de l'axe de la symétrie l'équation de l'axe de la symétrie est
  • le vecteur de la translation est

    • Groupes de symétrie

    Quel est le groupe de symétrie de la figure ?

    Son groupe de symétrie une symétrie axiale ;
    c'est un groupe d'ordre

    Composé et nature

    Dans le plan affine, le composé d'une et d'une peut être une
    On suppose que les isométries précédentes ne sont pas égales à l'identité.

    Combien d'isométries

    Combien d'isométries envoient la figure A sur la figure B ?

    Parallèles et translation

    Voici deux droites parallèles d'équation

    , .

    Trouver une translation qui envoie la droite sur la droite .

    A chacun son nom

    Mettre en correspondance les polygones réguliers et leur nom :

    A chacun son nombre de côtés

    Mettre en correspondance les polygones réguliers et leur nombre de côtés

    Propriétés des isométries (1)

    Dans le plan affine euclidien, l'isométrie est .
    Cochez toutes les propriétés vérifiées par .

    Propriétés des isométries (2)

    Dans le plan affine euclidien, l'isométrie est .
    Cochez toutes les propriétés vérifiées par .

    Propriétés des isométries (3)

    Dans le plan affine euclidien, l'isométrie est .
    Cochez toutes les propriétés vérifiées par .

    Reconnaître une isométrie

    Dans le plan affine euclidien, on considère une isométrie qui vérifie la ou les propriétés suivantes :

    L'isométrie peut être :

    Cochez tous les types possibles.

    Rotations dans un végétal

    photo
    Quel est l'ordre maximal des rotations qui conservent ?
    Ne tenir compte ni des étamines, ni des légères variations de taille.

    Composé de symétries centrales

    Soient la symétrie centrale de centre d'affixe , la symétrie centrale de centre d'affixe et la symétrie centrale de centre d'affixe .
    Le composé est une .
    Le composé est une symétrie centrale (et une rotation). est une translation.
    Donner .
    Cliquer sur .

    Quizz parallèles ou perpendiculaires

    Parmi les droites suivantes données soit par une équation cartésienne, soit par des équations paramétriques ( est un paramètre réel), lesquelles sont à la droite d'équation
    .

    Aires de triangles

    Voici trois triangles. Le premier est d'aire . Calculer l'aire des deux autres :
    Aire = Aire = Aire =

    Coordonnées trilinéaires

    Le triangle est un triangle équilatéral de hauteur . Cliquer sur le point de coordonnées () :

    Droites et coordonnées trilinéaires

    Le triangle est un triangle équilatéral de hauteur . Un point intérieur au triangle est repéré par ses coordonnées . Dessiner le segment correspondant à

    Produit de trois réflexions

    Le composé de trois réflexions par rapport à trois droites non concourantes est une réflexion glissée. Dessiner l'axe de glissage de .
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