Frises et isométries

Sommaire

Ce document est une introduction aux frises. C'est un sujet d'application du cours sur les isométries du plan . L'objectif est de faire agir les isométries du plan sur un objet décoratif et de reconnaître les symétries d'une figure.

Pour une étude plus approfondie, consultez Doc Frises et Pavages .

Groupe des isométries d'une frise

Groupe des isométries d'une frise
Premiers exemples
Motif d'une frise
Exemples de mailles et de motifs
Droite invariante du groupe d'une frise , médiane d'une bande
Eléments caractéristiques des isométries d'une frise
Symétries glissées d'une frise

Exercices

Des exercices italiens.
1. Construisez votre propre frise
2. Reconnaissez les isométries d'une frise
Des exercices WIMS.
1. Construire une frise invariante par des isométries données. Cliquez sur INTRO/CONFIG pour changer d'isométries.
2. Symétries d'une frise
3. Choix des éléments de symétrie
4. Centres de symétrie d'une frise (dans la deuxième question, il faut cliquer sur tous les centres de symétrie.)

Images de frises

Les frises sont des éléments de décor qu'on retrouve dans de nombreuses civilisations. Leur régularité est due à l'action répétée de certaines isométries du plan sur un motif de base. Contemplez ces exemples pour vous familiariser avec ces objets.

Une fenêtre sur l'île Saint Louis

Photo Marie-Claude David
Lambroquins à la Réunion
Sur le site précédent : Frises de tout lieu et tout temps
Frise obtenue par l'action d'une symétrie glissée et ses composées.

Elle a été construite sur le site italien (voir Construisez votre propre frise ).

Bande et décor

Bande du plan

On appelle bande du plan la zone du plan comprise entre deux droites parallèles, qu'on notera

𝒟_{1}

𝒟_{2}

On suppose désormais choisie une bande

ℬ

du plan. On considère un décor (en couleur) dans la bande, c'est-à-dire une partie de la bande colorée ou non.

Décor dans une bande

Voici un décor dans une bande. Nous incluons ce décor dans une maille (cliquer sur la case maille) et nous construisons une frise (cliquer sur la case frise) . Les définitions de frise et maille sont à la page suivante.

Frise, maille

Frise dans une bande

Soit

ℱ

un décor de

ℬ

. On dit que

ℱ

est une frise de $ℬ$ s'il existe un vecteur

\overset{⇀}{u}

non nul tel que :

$\overset{⇀}{u}$ est un vecteur directeur des deux droites frontières de la bande.
$ℱ$ est invariant par la translation de vecteur $\overset{⇀}{u}$ , c'est-à-dire : $t_{\overset{⇀}{u}} (ℱ) = ℱ$ (en tenant compte des couleurs).
Si $ℱ$ est invariant par une translation de vecteur $\overset{⇀}{v}$ , alors $\overset{⇀}{v}$ est de la forme $\overset{⇀}{v} = k . \overset{⇀}{u}$ , $k$ étant un entier relatif.

Ainsi, $\overset{⇀}{u}$ est un des deux vecteurs non nuls de norme minimale des translations laissant $ℱ$ invariant. On dit que $\overset{⇀}{u}$ est un vecteur minimal de la frise . On note $ℱ_{\overset{⇀}{u}}$ une frise de vecteur minimal $\overset{⇀}{u}$ .

On peut exprimer de façon concrète le fait que $ℱ$ soit invariant par la translation de vecteur $\overset{⇀}{u}$ : si on décalque $ℱ$ , et si on fait glisser le calque suivant le vecteur $\overset{⇀}{u}$ , on peut de nouveau faire coïncider le dessin de $ℱ$ sur le calque avec $ℱ$ .

Maille d'une frise

On appelle maille d'une frise

ℱ_{\overset{⇀}{u}}

la partie de la frise contenue dans un parallélogramme

A B C D

de côtés

[A B]

[D C]

portés par les droites

𝒟_{1}

𝒟_{2}

, frontières de la bande et vérifiant

\vec{A B} = \vec{D C} = \overset{⇀}{u}

La frise est l'union des translatés de la maille.

Exemples. Consultez la figure à la page précédente et d'autres exemples ici .

Isométrie d'une frise

On s'intéresse maintenant aux isométries qui conservent (ou laissent invariantes) la frise $ℱ_{\overset{⇀}{u}}$ .

Isométrie de la frise

On dit qu'une isométrie

ϕ

est une isométrie de la frise

ℱ

dessinée dans la bande

ℬ

l'image de la bande $ℬ$ par $ϕ$ est égale à la bande $ℬ$
la frise $ℱ$ est invariante par $ϕ$ .

Parmi les isométries de la frise, on trouve évidemment des translations.

Translations de la frise

Les seules translations qui conservent

ℱ_{\overset{⇀}{u}}

sont les translations de vecteurs multiples entiers de

\overset{⇀}{u}

, c'est-à-dire de vecteurs

\overset{⇀}{v} = k . \overset{⇀}{u}

où

k \in ℤ

.
Notons

T (ℱ_{\overset{⇀}{u}})

leur ensemble. L'ensemble

(T (ℱ_{\overset{⇀}{u}}), \circ)

est un groupe.

Groupe des isométries d'une frise

Les isométries d'une frise

ℱ_{\overset{⇀}{u}}

forment un groupe pour la composition. On le note

G (ℱ_{\overset{⇀}{u}})

. Il contient

T (ℱ_{\overset{⇀}{u}}) = {t_{k \overset{⇀}{u}}, k \in ℤ}

Comme on l'observe sur les exemples, le groupe d'une frise reflète les ``symétries'' de la frise (symétries au sens commun). Pour cette raison, il joue un rôle important dans l'étude des frises. Dans la suite, on étudie quelques propriétés des groupes des frises.

Dire que l'ensemble des isométries d'une frise

ℱ_{\overset{⇀}{u}}

est un groupe pour la composition, cela signifie :

$G (ℱ_{\overset{⇀}{u}})$ contient l'identité.
Si $g$ et $h$ sont des isométries de la frise, $g \circ h$ conserve la frise.
Si $h$ appartient à $G (ℱ_{\overset{⇀}{u}})$ , alors $h^{- 1}$ appartient à $G (ℱ_{\overset{⇀}{u}})$

Pour une étude complète des différents types de groupes de frises, consultez le cours Doc Frises et Pavages .

Premiers exemples

Exemples : Dans l'exemple 1, le groupe est réduit à $T (ℱ_{\overset{⇀}{u}})$ . Dans l'exemple 2, il contient en plus des symétries centrales.

Exemple 1 : Voici une frise de triangles dont le groupe est réduit au groupe des translations de vecteur $k . \overset{⇀}{u}$ ( $k \in ℤ$ ).
On a hachuré une maille rectangulaire et une maille parallélogramme.
maille d'une frise

Exemple 2 : Cette frise est invariante par des symétries centrales, par exemple celles de centre $Q$ , $Q'$ , $Q ″$ ... En voyez-vous d'autres ?
Une maille est hachurée une fois ; un motif qu'elle contient est hachuré deux fois.
motif d'une frise

Motif d'une frise

Un motif d'une frise

ℱ_{\overset{⇀}{u}}

est une partie minimale de la maille qui permet de construire la frise en faisant agir les isométries conservant

ℱ

Exemples de mailles et de motifs

Une maille est entourée en rouge, un motif est le rectangle à fond clair

Sur un pied : Une maille et un motif sont confondus.
traces de pas

La maille contient les deux pieds, le motif un seul puisque le second s'obtient par isométrie de la frise.

Marche normale
traces de pas

Saut à pieds joints
traces de pas

Danse folklorique
traces de pas

Droite invariante du groupe d'une frise

On appelle médiane d'une bande

ℬ

de frontière

𝒟_{1}

𝒟_{2}

la droite

𝒟

équidistante de

𝒟_{1}

𝒟_{2}

Proposition. La médiane est invariante par toute isométrie de

ℱ_{\overset{⇀}{u}}

En effet la frontière de la bande est invariante par toute isométrie de $ℱ_{\overset{⇀}{u}}$ . De plus la médiane est définie par une propriété de distance.

Eléments caractéristiques des isométries d'une frise

Les propriétés d'invariance de la bande et de la médiane permettent de préciser les éléments caractéristiques des isométries de $G (ℱ_{\overset{⇀}{u}})$ .

Théorème.

Les centres de symétries de $ℱ_{\overset{⇀}{u}}$ appartiennent à $𝒟$ .
Les axes des réflexions appartenant à $G (ℱ_{\overset{⇀}{u}})$ sont $𝒟$ ou les perpendiculaires à $𝒟$ .
Si $G (ℱ_{\overset{⇀}{u}})$ contient une symétrie glissée, celle-ci est d'axe $𝒟$ et de vecteur $\frac{k}{2} \cdot \vec{u}$ , avec $k \in ℤ$ .
Le groupe $G (ℱ_{\overset{⇀}{u}})$ ne contient aucune rotation qui ne soit ni l'identité, ni une symétrie centrale.

Démonstration.

Les résultats nécessaires à cette démonstration sont disponibles dans le cours Isométries du plan .

(1) et (2) résultent des propriétés des droites invariantes par une symétrie centrale ou par une réflexion.

(3) Le carré d'une symétrie glissée qui conserve la frise est une translation qui conserve la frise, donc son vecteur est un multiple de $\overset{⇀}{u}$ .

(4) résulte de l'absence de droite invariante par une rotation qui n'est ni l'identité, ni une symétrie centrale.

Symétries glissées d'une frise

Nous précisons ici quand le groupe d'une frise contient des symétries glissées et lesquelles.

Théorème.

Si $G (ℱ_{\overset{⇀}{u}})$ contient $s_{𝒟}$ , il contient une infinité de symétries glissées $t_{k \overset{⇀}{u}} \circ s_{𝒟}$ ( $k \in ℤ$ ).

Si $G (ℱ_{\overset{⇀}{u}})$ ne contient pas $s_{𝒟}$ et contient une symétrie glissée, alors il contient la symétrie glissée $t_{\frac{\overset{⇀}{u}}{2}} \circ s_{𝒟}$ et ses composées avec les translations.

Construisez votre propre frise

Cette page propose la traduction des consignes d'un exercice en italien. Cet exercice nécessite Java.

Cet exercice interactif propose des motifs pour construire des frises selon des schémas proposés.

Mode d'emploi : Traduction de Istruzioni et de Per saperne di più

En haut, tu as à disposition sept schemas différents pour construire une frise, représentant 7 règles différentes avec lesquelles la figure se répète. Choisis un de ces dessins et puis mets une des formes à disposition dans le rectangle gris clair en bas. Tu peux déplacer une forme en la faisant glisser avec la souris. Quand tu te déplaces sur une forme, celle-ci change de couleur et fait apparaître un point sur un des sommets : si tu cliques sur le point et que tu le traînes tu peux agrandir, faire tourner et réduire la forme.

Quand tu insères une figure dans le rectangle gris clair, une frise apparaît, se répétant suivant un des 7 schémas possibles (celui que tu as choisi au début). La zone gris clair représente le module qui se répète (décoré par les formes que tu as insérées) avec certaines règles (correspondant au schéma choisi) pour former la frise.

Parmi les formes à disposition, il y a aussi un pied : on peut donc aussi essayer de reconstruire 7 façons possibles de procéder qui donnent lieu à 7 frises différentes. Pour chacun des 7 dessins, c'est simple : on peut obtenir par-exemple, au-delà de la marche normale (sixième dessin), le saut à pied joint (premier schéma). Dans les autres cas, il te faudra penser aux façons un peu acrobatiques de procéder.

Tu peux réaliser une frise pour le plaisir ou pour essayer de reproduire une de cette page .

Modèles de frises

Reconnaissez les isométries d'une frise

Cette page propose la traduction des consignes d'un exercice en italien.

Cet exercice en italien permet de déterminer quelle isométrie conserve la frise proposée. On peut travailler sur la frise en photo ou sur les frises dont le motif est le mât du métro. En effet, la page affiche l'image de la frise par l'isométrie testée. Pour la frise en photo, on peut ensuite choisir le type de la frise en cliquant sur les types proposés en-dessous et la correction apparaît à droite de la fiche : "Esatto, è un" signifie "c'est vrai, c'est une" et "No, non è un pm11" signifie " non, ce n'est pas une".

Cette animation utilise Macromedia Flash.

Mode d'emploi : Traduction de Istruzioni

On peut classifier toutes frises selon les 7 types possibles que l'on présente par l'exemple d'un mât du métro. A côté de chaque schéma on trouve les icônes des transformations qui le caractérisent, plus précisément

translation,
symétrie centrale
symétrie glissée,
réflexion horizontale
réflexion verticale

En cliquant sur les icônes de chaque transformation, il est possible d'appliquer à chaque schéma la transformation correspondante, et d'observer son effet sur le schéma choisi. Il est également possible de modifier les paramètres de chaque transformation en utilisant la souris (par exemple, pour les translations on peut modifier la longueur du vecteur, pour les symétries centrales on peut déplacer le centre et ainsi de suite : pour plus de détails, voir la page Pour en savoir plus ).

En haut à gauche on voit la photo d'une frise dont vous devez identifier le type de symétrie. Tout comme pour les schémas de frises, de la même manière, il est possible, en utilisant les boutons correspondant à chaque transformation, d'agir sur la photo pour voir quelles transformations laissent la figure inchangée. Quand vous pensez avoir trouvé le type de symétrie de la frise de la photo, cliquez sur le type correspondant pour savoir si vous avez deviné.

Vous pouvez changer la photo de la frise en cliquant sur [cambia].

Traduction de Per saperne di più

Pour en savoir plus sur le mode d'emploi.

Pour en savoir plus

Ce qui caractérise une frise est le fait qu'une translation la laisse invariante. Il peut ensuite y avoir d'autres transformations la laissant invariante : des réflexions horizontales (par rapport à un axe parallèle à la direction de translation), des réflexions verticales (par rapport à un axe orthogonal à la direction de translation), des réflexions glissées, des symétries centrales. La présence ou non de ces autres transformations dans le groupe de symétrie est vraiment ce qui distingue entre eux les sept types de symétrie d'une frise.

Comment tester l'action d'une isométrie sur un schéma ou une photo (appelés figure dans la suite)

Pour tester une translation, il faut tracer un vecteur : quand tu cliques sur le bouton vecteur , à la figure se superpose une autre copie plus pâle de cette figure, représentant l'effet de la translation relative à ce vecteur. Tu peux modifier la longueur du vecteur avec la souris : on modifie alors la translation et en général les deux figures ne se superposent plus, même si tu peux trouver d'autres longueurs de flèche pour lesquelles les figures se superposent exactement.

Pour détecter une réflexion, il faut tracer une droite : quand tu cliques sur l'un des boutons où figure une droite droite horizontale ou droite verticale , à la figure se superpose une autre copie plus pâle du même dessin, représentant l'effet sur la figure de la réflexion par rapport à cette droite. Tu peux saisir la droite avec la souris et la déplacer, en la maintenant parallèle (respectivement perpendiculaire) à la direction de translation. Quand la position est telle que la figure pâle se superpose exactement à la figure initiale, tu as mis en évidence un axe de symétrie de la figure. Il y a un seul axe de symétrie dans le type p1m1, alors qu'il y en a beaucoup dans le type du pm11.

Pour détecter une symétrie glissée, il faut tracer une droite et un vecteur parallèle à cette droite : quand tu cliques sur le bouton glissage , apparaît comme d'habitude la copie plus pâle avec l'effet de la transformation correspondante. Avec la souris, il est possible de faire varier la longueur du vecteur et d'observer comment varie la symétrie glissée : de nouveau quand la figure pâle se superpose exactement au dessin initial, tu as trouvé une transformation fixant la figure.

Enfin, pour une symétrie centrale, il faut fixer un point : quand tu cliques sur le bouton o centre , la copie pâle et l'effet de la symétrie apparaissent comme d'habitude. Tu peux saisir et déplacer le point avec la souris. Quand la position du point est telle que la figure pâle se superpose exactement à la frise initiale, tu as mis en évidence un centre de symétrie.

Correction

Pour les sept exemples, seuls les boutons correspondants aux transformations présentes dans le groupe des isométries correspondant sont présentés. Quand tu déplaces les éléments mobiles, ceux-ci changent de couleur aux moments où tu atteins une position pour laquelle la transformation conserve la figure.

Pour la photo, tous les boutons sont présents et c'est à toi de comprendre lesquels correspondent à une transformation fixant la figure et lesquels n'y correspondent pas: quand tu l'as trouvé, l'élément mobile change de couleur et un ok apparaît aux côtés du bouton. Quand tu as trouvé tous les ok de cette photo, tu as tous les éléments pour déterminer de quel type il s'agit.

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Description: cours sur les frises pour faire agir et reconnaître leurs isométries. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games at University of Chieti-Pescara
Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, euclidean_geometry,, frieze, isometries