Inégalités

Objectifs

Majorer, minorer, encadrer, voici les techniques de base de l'analyse et ce module a pour but de vous entraîner à ces techniques. Il propose aussi une première approche de la définition de la limite.

Guide

Inéquations
Implication entre inégalités
Approche de la limite
Approche graphique

Inéquations

Encadrements
Inéquations : Exercices
Inéquations : Exercices
Exercices de déduction d'inégalités simples

Encadrements

Cours : La manipulation des inéqualités est l'occasion de nombreuses erreurs. Ces manipulations s'appuient sur les propriétés de l'ordre de

Exercices : Ces trois exercices proposent d'encadrer des expressions en

x

y

connaissant un encadrement des nombres réels

x

y

Encadrement 1
Encadrement 2
Zone d'inégalité

Inéquations : Exercices

Exercice : Sans étude de fonctions mais en utilisant les propriétés de l'ordre de

, résoudre les inéquations suivantes :

$∣ x - 5 ∣ + ∣ x + 2 ∣ \leq 3$
On pourra s'aider d'un tableau pour enlever les valeurs absolues.

S=[-2;5]
$0 \leq \frac{2 x}{x^{2} - 2} \leq 1$

Attention au signe du dénominateur !
Solution
$S =] 1 - \sqrt{3}; 0 [\cup] 1 + \sqrt{3}; + ∞ [$
$\frac{x - 2}{x + 2} \leq x^{2} - 2 x - 1$

Attention au signe du dénominateur !
Solution,
$S =] - ∞; - \sqrt{6} [\cup] - 2; 0 [\cup] \sqrt{6}; + ∞ [$ .
$0 \leq \sqrt{x^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + 2} \leq 1$
N'oubliez pas la quantité conjuguée !
Solution,
$S = ℝ$ .

Inéquations : Exercices

Exercice : Résoudre les inéquations :

$\sqrt{∣ x^{2} - 5 x + 4 ∣} > 2 ∣ x - 1 ∣$
$\sqrt{x^{2} - 5 x + 4} > 2 (x - 1)$

La racine carrée est-elle définie ?

Solution,

$S =] 0, 1 [\cup] 1, \frac{8}{5} [$
$S =] - ∞, 1 [$ .

Exercices de déduction d'inégalités simples

Les exercices qui suivent demandent de montrer des choses simples mais obligent à décomposer en étapes et à réfléchir à chaque instant aux méthodes que l'on utilise et qui doivent ensuite être utilisées "sans réfléchir".

Exercices de déduction (I):

Fraction simple
Inverse

Exercices de déduction (II) : Un pot pourri d'inégalités à résoudre

Exercices de déduction (III) : Borner une fraction

Quel est le problème ?

Jusqu'à maintenant, vous avez dû résoudre des inéquations, c'est-à- dire chercher tous les

x

vérifiant une inégalité par exemple :

∣ x^{2} - 4 ∣ \leq 3

. L'ensemble des solutions est

[- \sqrt{7}; - 1] \cup [1; \sqrt{7}]

.
Dorénavant, vous allez devoir vérifier qu'une condition sur

x

est suffisante pour obtenir un certain encadrement d'une fonction, par exemple : L'implication suivante est-elle vraie ?

$∣ x - 2 ∣ \leq 0, 5 \Rightarrow ∣ x^{2} - 4 ∣ \leq 3$

La condition

∣ x - 2 ∣ \leq 0, 5

signifie que

x

est compris entre

1, 5

2, 5

et implique que

∣ x + 2 ∣

est majoré par 4,5, on peut donc écrire.

$∣ x^{2} - 4 ∣ \leq ∣ x + 2 ∣ ∣ x - 2 ∣ \leq 4, 5 \times 0, 5 \leq 3 .$

Quelles sont les méthodes ?

Considérons une fonction numérique

f

d'une variable

x

, par exemple

$f (x) = ∣ \frac{x^{2} + 2 x \exp (- x) - 9}{x \sin x - 4} ∣$

Que peut-on dire des variations de

f

x

varie dans un intervalle donné

I

par exemple [1;3] ? On peut évidemment faire une étude complète de la fonction mais souvent une estimation suffit.

Dans notre exemple,

f

se présente comme une fraction : pour majorer

f

, nous allons

majorer le numérateur
La manière la plus simple de majorer est d'utiliser l'inégalité triangulaire : le numérateur est alors majoré par $3^{2} + 2 \times 3 + 9 = 24$ , (pour tout $y$ négatif, $\exp (y)$ est compris entre 0 et 1).
On peut aussi travailler un peu plus et remarquer que si $x$ est dans [1;3], alors $x^{2} + 2 x \exp (- x)$ est compris entre 3 et 15 donc $x^{2} + 2 x - 9$ est compris entre -6 et +6) et le numérateur est majoré par 6. La majoration est meilleure mais nous avons dû travailler un peu plus.
minorer le dénominateur
Sur l'intervalle [1;3] [0;], la fonction sinus est positive donc $x \sin x$ est compris entre 0 et 3 et le dénominateur qui vaut alors $4 - x \sin x$ est minoré par 4-3=1.

En conclusion, sur [1;3], on peut dire que la fonction est majorée par 24 et même par 6 si on a été plus courageux.

Exercices

Exercice : Démontrer les implications suivantes :

$∣ x - 1 ∣ \leq 1 \Rightarrow ∣ \frac{x^{2} \sin x - 2 x}{x^{2} - 6} ∣ \leq 4 .$
Solution

Par hypothèse le réel $x$ est dans l'intervalle [0;2], l'inégalité triangulaire nous permet de majorer le numérateur :
$∣ x^{2} \sin x - 2 x ∣ = ∣ x ∣ ∣ x \sin x - 2 ∣ < ∣ x ∣ (∣ x ∣ + ∣ 2 ∣) \leq 8$
D'autre part le dénominateur $∣ x^{2} - 6 ∣$ vaut $6 - x^{2}$ dans l'intervalle considéré donc est minoré par 2.
$x \geq 16 \Rightarrow ∣ \frac{x^{2} \exp (- x)}{x^{6} - 20 x^{2}} ∣ \leq \frac{1}{2} .$

Solution
Quand $x$ est positif, exp $(- x)$ est positif et majoré par 1. Quand $x$ est supérieur à 16 alors $x^{6} - 20 x^{2}$ est strictement positif et minoré par $x^{6}$ . On obtient donc
$x \geq 16 \Rightarrow ∣ \frac{x^{2} \exp (- x)}{x^{6} - 20 x^{2}} ∣ \leq x^{- 4} \leq \frac{1}{2} .$
$∣ x - 2 ∣ \leq 1 \Rightarrow ∣ \frac{\sqrt{∣ x^{2} - 4 ∣}}{x \cos (x - 2)} ∣ \leq 5 \sqrt{∣ x - 1 ∣} .$

Solution
Par hypothèse, $x - 2$ est compris entre $- 1$ et $1$ donc $\cos (x - 2)$ est positif et minoré par $\cos 1$ (la fonction cosinus est paire de plus elle est décroissante entre 0 et 1) alors que $x$ est minoré par $1$ . On obtient donc
$∣ x - 2 ∣ \leq 1 \Rightarrow ∣ \frac{\sqrt{∣ x^{2} - 4 ∣}}{x \cos (x - 2)} ∣ \leq ∣ \frac{\sqrt{x + 4} \sqrt{∣ x - 4 ∣}}{\cos 1} ∣$ $\leq \frac{\sqrt{7} \sqrt{∣ x - 1 ∣}}{\cos 1}$ $\leq 5 \sqrt{∣ x - 1 ∣} .$

Approche de la limite

Approche de la définition de la limite
Calcul de l'erreur
Interprétation
Exercices

Approche de la définition de la limite

Question : Dans quel intervalle autour de

a

puis-je remplacer

f (x)

par

f (a)

sans commettre une erreur supérieure à epsilon

? Par exemple, dans quel voisinage de

\frac{1}{4}

, est-on sûr de pouvoir remplacer

\frac{1}{\sqrt{x}}

par 2 en commettant une erreur Delta

inférieure à

ε = 10^{- 3}

On peut s'aider de l' aide graphique par le tracé pour voir ce qui se passe
Il ne s'agit pas de résoudre une inéquation mais d'appliquer la technique de majoration vue précédemment en faisant intervenir la distance entre $x$ et $\frac{1}{4}$ . Il n'est pas important de trouver le meilleur voisinage.
L'intervalle cherché doit être contenu dans le domaine de définition de la fonction, ici l'intervalle ne doit pas contenir 0. Il est donc contenu dans $] 0; + ∞ [$

Prenons

f (x) = \frac{1}{\sqrt{x}}

et transformons la différence en valeur absolue de

f (x)

et de

f (\frac{1}{4})

$∣ \frac{1}{\sqrt{x}} - 2 ∣ = ∣ \frac{1 - 2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}} ∣ = ∣ \frac{1 - 4 x}{(1 + 2 \sqrt{x}) \sqrt{x}} ∣ = 4 ∣ \frac{\frac{1}{4} - x}{(1 + 2 \sqrt{x}) \sqrt{x}} ∣$

Maintenant nous allons majorer

K (x) = 4 ∣ \frac{1}{(1 + 2 \sqrt{x}) \sqrt{x}} ∣

par une constante sur un intervalle plus petit contenu dans

] 0; + ∞ [

Calcul de l'erreur

D'une part

1 + 2 \sqrt{x}

est minoré par 1, d'autre part si

x

est supérieur à

\frac{1}{16}

alors

\frac{1}{\sqrt{x}}

est inférieur à 4, donc pour tout

x

supérieur à

\frac{1}{16}

$K (x) = 4 ∣ \frac{1}{(1 + 2 \sqrt{x}) \sqrt{x}} ∣$ est majoré par $16 ∣ \frac{1}{4} - x ∣$ .

x

vérifie

∣ \frac{1}{4} - x ∣ < \frac{10^{- 3}}{16}

x

vérifie aussi

x \geq \frac{1}{16}

, La majoration est donc valide et nous avons montré l'implication suivante :

$∣ \frac{1}{4} - x ∣ \leq \frac{10^{- 3}}{16}$ $\Rightarrow$ $∣ \frac{1}{\sqrt{x}} - 2 ∣ \leq 10^{- 3} .$

En résumé, si on choisit

x

entre

\frac{1}{4} - \frac{10^{- 3}}{16}

\frac{1}{4} + \frac{10^{- 3}}{16}

, on peut dire que

\frac{1}{\sqrt{x}}

vaut 2 à 10^-3 près ou que l'erreur est au plus de 10^-3.
Le travail central ici est le travail de majoration, en effet ensuite la détermination de l'intervalle est immédiate. Nous pouvons utiliser ce travail de majoration pour affirmer :

$\forall ε > 0,$ $\exists α > 0, ∣ \frac{1}{4} - x ∣ \leq α$ $\Rightarrow$ $∣ \frac{1}{\sqrt{x}} - 2 ∣ \leq ε .$

Comme notre majoration n'est valide que pour

x

supérieur à

\frac{1}{16}

, condition qui est vérifiée si

x

appartient à l'intervalle

[\frac{1}{4} - \frac{3}{8}; \frac{1}{4} + \frac{3}{8}]

; on impose la condition

α \leq 3 / 16

. Pour que l'implication soit vraie, il suffit donc de prendre

α = \inf (\frac{3}{16}, \frac{ε}{16})

.
Interprétation

Interprétation

L'énoncé mathématique obtenu

$\forall ε > 0,$ $\exists α > 0, ∣ \frac{1}{4} - x ∣ \leq α$ $\Rightarrow$ $∣ \frac{1}{\sqrt{x}} - 2 ∣ \leq ε .$

signifie que

$\frac{1}{\sqrt{x}}$ tend vers 2 quand $x$ tend vers $\frac{1}{4}$ .

Exercices

Exercice : Aide visuelle : epsilon

étant donné, trouver alpha

en étant aidé visuellement.

Exercice : Donner une majoration raisonnable de

∣ f (x) - b ∣

de la forme

{∣ x - a ∣}^{n} C

où

n

est un entier et

C

un réel positif (on pourra si nécessaire imposer une condition à

∣ x - a ∣

) pour :

$f (x) = x^{3}, a = 2, b = 8$ Solution

$∣ x^{3} - 8 ∣ = ∣ (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ $∣ \leq ∣ x - 2 ∣ (x^{2} + ∣ 2 x ∣ + 4)$
Si la condition $∣ x - 2 ∣ \leq 1$ est vérifiée, on peut donc écrire :
$∣ f (x) - b ∣ \leq 19 ∣ x - 2 ∣$
$f (x) = \frac{x^{2} + 3}{x - 2}, a = 1, b = - 4$ Solution

$∣ \frac{x^{2} + 3}{x - 2} + 4 ∣ = ∣ \frac{(x - 1) (x + 5)}{x - 2} ∣$

Si $x$ est compris entre 1/2 et 3/2, (on est alors sûr que la fonction est définie), On minore $∣ x - 2 ∣$ par $\frac{1}{2}$ (faire un dessin sur la droite réelle en plaçant $\frac{1}{2}$ , $1$ , $\frac{3}{2}$ et 2) et on majore $∣ x + 5 ∣$ par $\frac{13}{2}$ . On peut donc écrire que
si $x$ est compris entre 1/2 et 3/2 , $∣ \frac{x^{2} + 3}{x - 2} + 4 ∣ \leq 13 ∣ x - 1 ∣$
$f (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}, a = 1, b = 2$ Solution
$∣ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2 ∣ = ∣ \frac{(x - 1)^{2}}{x^{2}} ∣$
La fonction est définie seulement si $x$ n'est pas nul, nous allons donc prendre $x$ compris entre $\frac{1}{2}$ et $\frac{3}{2}$ , alors
$∣ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2 ∣$ est majoré par $4 (x - 1)^{2}$

Exercice : Soit epsilon

un réel strictement positif. Dans chacun des cas traités au-dessus, proposer une valeur de alpha

dépendant de epsilon

telle que l'implication suivante soit vraie :

$∣ x - a ∣ \leq α \Rightarrow ∣ f (x) - b ∣ \leq ε$

Solution

$∣ x - a ∣ \leq α$ Rightarrow $∣ f (x) - b ∣ \leq ε$

Une infinité de choix de alpha

sont possibles, le choix dépend de la majoration qu'on a réussi à faire. Les majorations proposées permettent d'affirmer que les valeurs de alpha

suivantes conviennent ainsi que toute valeur inférieure.

$α = \inf (ε / 19, 1)$ . On doit choisir inférieur à 1 car la majoration n'est démontrée que pour $∣ x - 2 ∣ \leq 1$ .
$∣ x - 2 ∣ \leq \inf (ε / 19, 1)$ ) $∣ x^{3} - 8 ∣ \leq ε$
$α = \inf (ε / 13, \frac{1}{2})$ .
$∣ x - 1 ∣ \leq \inf (ε / 13, \frac{1}{2})$ $∣ \frac{x^{2} + 3}{x - 2} + 4 ∣ \leq ε$
$α = \inf (\sqrt{ε} / 4, \frac{1}{2})$ .
$∣ x - 1 ∣ \leq \inf (\sqrt{ε} / 4, \frac{1}{2}) \Rightarrow ∣ x^{2} + \frac{1}{x^{2}} - 2 ∣ \leq ε$

document donnant une introduction à la notion de limite.
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