DOC Inégalités, intervalles, inéquations

Sommaire

ATTENTION ! Ce document est en chantier. Sa publication est nécessaire à la publication du document rénové : Inégalités, inéquations . Soyez patients, il va être complété.

Ce cours est une introduction aux notions simples sur les inégalités. Son but est de présenter définitions, propriétés de base, et calculs usuels. Pour une approche plus approfondie de ces notions, on pourra consulter avec profit le cours Inégalités, inéquations .

Les pages principales (A1, A2, A3, ...) proposent un parcours progressif avec définitions et règles, exemples simples et exercices basiques. Les pages annexes A2+, A4+, ... figurant ci-dessous en retrait, présentent d'autres exemples et exercices plus élaborés, partant souvent de situations concrètes.

A. Inégalités

B. Inégalités et opérations

C. Valeur absolue, carrés, racines

D. Intervalles

E. Majorer, minorer, encadrer

F. Inéquations

A1. Comparer des nombres

Cette page présente des définitions et de premiers exemples sur les façons de caractériser « le plus grand » ou « le plus petit » de deux nombres réels.

Définitions. Soient a, b, c, ... des nombres réels.

On dit que a est inférieur ou égal à b si la différence b−a est un nombre positif ou nul. On définit ainsi la relation a≤b.
On dit que a est supérieur ou égal à b si la différence b−a est un nombre négatif ou nul. On définit ainsi la relation a≥b.
Exemples I.
  1. Les relations 3≤5 et 5≤7 sont vraies. La double inégalité 3≤5≤7 signifie : 3≤5 et 5≤7.
  2. L'inégalité 3≤3+x 2 est vraie car le carré de x est toujours positif ou nul quel que soit le réel x.
  3. Étant donné deux nombres réels x et y, je note a leur double-produit et b le carré de leur somme. Montrer que a≤b.
    b=(x+y) 2=x 2+2xy+y 2. L'inégalité a≤b est vraie car b−a=x 2+y 2 est la somme de deux carrés, donc positive ou nulle.

Définitions.

On dit que a est strictement inférieur à b si la différence b−a est un nombre positif. On définit ainsi la relation a<b.
On dit que a est strictement supérieur à b si la différence b−a est un nombre négatif. On définit ainsi la relation a>b.
Exemples II.
  1. L'inégalité stricte 3<5 est vraie ainsi que l'inégalité large 3≤5.
  2. Quel que soit x≠1, le quotient F(x)=1−x 31−x est un nombre strictement positif.
    Selon l'identité remarquable a 3−b 3=(a−b)(a 2+a×b+b 2), le numérateur est égal à : (1−x)(1+x+x 2). Donc F(x)=1+x+x 2. Ce trinôme ayant un discriminant strictement négatif Δ=−3, est de signe constant, positif ici.
Les pages suivantes A2. Relation inférieur/supérieur ou égal et A3. Relation strictement inférieur/supérieur décrivent les propriétés de ces relations de comparaison entre deux nombres.

A2. Relation inférieur/supérieur ou égal

Cette page expose les propriétés des relations leq et geq définies dans A1. Comparer des nombres .

Propriétés des relations ≤ et ≥
relation ≤ relation ≥
1 a≤a a≥a
2 ( a≤b et b≤a) ⇒a=b ( a≥b et b≥a) ⇒a=b
3 ( a≤b et b≤c) ⇒a≤c ( a≥b et b≥c ) ⇒a≥c

Les relations ≤ et ≥ sont dites réflexives (1), antisymétriques (2) et transitives (3). On dit que ce sont des relations d'ordre.

Exemple. Voici un exemple de la transitivité de la relation leq : 5≤6 et 6≤9⟹5≤9. .
Règles de comparaison des opposés et des inverses de deux nombres

relation ≤ relation ≥
1 a≤b⇔−b≤−a a≥b⇔−b≥−a
2 0<a≤b ou a≤b<0⇔ 1b≤1a 0>a≥b ou a≥b>0⇔ 1b≥1a

Si deux nombres a et b sont ordonnés par une inégalité, leurs opposés −a et −b sont reliés dans l'ordre opposé, de même pour leurs inverses 1a et 1b si a et b sont non nuls et de même signe.

Démonstration :
  1. Ordre des opposés −a et −b : la différence (−a)−(−b) est égale à b−a, ce qui fait le lien avec l'inégalité reliant les nombres a et b.
  2. Ordre des inverses 1a et 1b : la différence 1a−1b=b−aa×b est du même signe que b−a, car le dénominateur, comme produit de nombres de mêmes signes, est positif. D'où l'inégalité annoncée.
Exemple II.

Les propriétés 1 et 2 de la relation leq se traduisent ainsi : 2≤4⟹−4≤−2 et 0<2≤4⟹14≤12. .

A3. Relation strictement inférieur/supérieur

Cette page expose les propriétés des relations < et > définies dans A1. Comparer des nombres

Propriétés des relations < et >
1. a<a est faux donc < n'est pas une relation d'ordre.
2. a<b et b<a sont incompatibles
3. a<b et b<c ⟹a<c

La relation < est dite antiréflexive (propriété 1) et transitive (propriété 3). Les propriétés 1. à 3. sont aussi vraies pour la relation >.

Exemple. La transitivité de la relation < s'exprime dans l'exemple suivant. ( −2<0 et 0<5) ⇒−2<5. .
Comparaison des opposés et des inverses de deux nombres

De même que pour les relations ≤ et ≥, si deux nombres a et b sont ordonnés par une inégalité stricte, leurs opposés −a et −b sont reliés dans l'ordre opposé, de même pour leurs inverses 1a et 1b si a et b sont non nuls et de même signe.


 relation < relation >
1 a<b⇔ −b<−a a>b⇔ −b>−a
2 0<a<b ou a<b<0⇔ 1b<1a 0>a>b ou a>b>0⇔ 1b>1a
Démonstration :
  1. Ordre des opposés −a et −b : la différence (−a)−(−b) est égale à b−a, ce qui fait le lien avec l'inégalité reliant les nombres a et b.
  2. Ordre des inverses 1a et 1b : la différence 1a−1b=b−aa×b est du même signe que b−a, car le dénominateur, comme produit de nombres de mêmes signes, est positif. D'où l'inégalité annoncée.
Exemple.

Les propriétés 1 et 2 de la relation leq se traduisent ainsi : 3<4⟹−4<−3 et 0<3<4⟹14<13. .

Remarque. Les relations ≤ et ≥ sont des « relations d'ordre » notamment du fait qu'elles relient tout nombre a à lui-même : a≤a et a≥a. Ce n'est pas le cas des relations < et > qui sont parfois improprement appelées « relations d'ordre strict » (cf. Propriété 1. ci-dessus).

A4. Encadrements

Cette page présente la notion d'encadrement c'est-à-dire de la situation où un nombre est compris entre deux autres dans une double inégalité.
Une présentation plus approfondie est disponible dans le document Inégalités, inéquations , particulièrement la page Inégalités.

Définition.

On appelle encadrement d'un nombre réel x une double inégalité où x figure entre deux nombres réels a et b tels que a≤b.
On dit que x est « compris entre a et b », et que x est minoré par a et majoré par b ou que m est un minorant de x et M un majorant de x.

L'encadrement peut être large, strict ou mixte.

Le réel positif b−a est appelé amplitude de l'encadrement.

On peut aussi se trouver en présence d'une double inégalité avec les relations ≥ et > au lieu de ≤ et <.
Exemples :
  1. 3≤x≤5. Le nombre x vérifiant cette double-inégalité est minoré par 3 et majoré par 5. L'amplitude de cet encadrement est égale à 5−3=2.
  2. Soit x=−4. On tire au sort pour encadrer x deux nombres a et b situés entre −10 et 10. Pour a=−9 et b=1, l'amplitude est c=10.
  3. Il peut être utile d'encadrer un nombre décimal entre deux entiers : 41≤41.34≤42. .

A5. Comparer des fractions

Des fractions sont déjà en jeu dans les propriétés 2. des relations ≤ et ≥ ainsi que < et > exposées dans les pages A2. Relation inférieur/supérieur ou égal et A3. Relation strictement inférieur/supérieur . D'autres exemples et exercices figurent à la page "Encadrer une fraction" du document Inégalités, inéquations .

Méthode pour comparer des fractions positives. Soient a, b, c, d des nombres réels vérifiant b≠0 et b≠d. Pour comparer les fractions F=ab et G=cd.
  1. on réduit F et G à un même dénominateur D. En première approche, on peut choisir D=a×b et l'on obtient :
    F=a×db×d et G=b×cb×d.
  2. comparer les fractions F et G est équivalent à comparer les nouveaux numérateurs M=a×d et N=b×c.
Exemple I. Partage de gâteau.
Parmi les parts F et G du gâteau, trouver la plus grande.
cas 1. F=37 ou G=512 ?
cas 2. F=712 et G=1318 ?		 KidPie
Un dénominateur commun est D=7×12=84. Les fractions réduites au même dénominateur sont F=3×127×12 et G=5×77×12, soit F=3684 et G=3584. La plus grande est F car son numérateur 36 est le plus grand. Les deux parts ne différent que de 184. C'est très peu !
On pourrait choisir comme dénominateur commun le produit D=12×18=216. Mais ici on observe que le nombre 6 est le plus grand commun diviseur (PGCD) de 12 et 18 : 12=6×2 et 18=6×3. On peut alors choisir comme dénominateur commun D=6×2×3=36. Les fractions réduites à ce même dénominateur sont F=7×312×3 et G=13×218×2. soit F=2136 et G=2636. La plus grande fraction est G car son numérateur 26 est le plus grand des deux.
Exemple II. Comparaison de deux fractions à termes positifs. Status: 550 WIMS Module Error Server: WIMS 4.24 (WWW Interactive Multipurpose Server) Content-type: text/plain; charset=windows-1252 ERROR. wims has detected an error in the module 'U1/analysis/docinegalites1.fr'. In file 'doc/1/ComparerFractions.def', line 246: output_too_long. La longueur de la page html produite a dépassé la limite. Si vous n'avez pas envisagé une page extrêmement longue (dans ce cas divisez la page), c'est probablement qu'il y a une boucle infinie. Si vous voyez ce message, c'est en général à cause d'un bug dans le module `U1/analysis/docinegalites1.fr'. Veuillez contacter le développeur du module pour le bug.