Les entiers naturels

I Qu'est-ce que les entiers naturels ?

II Les axiomes de Péano

III Applications

IV Nommer les entiers

V Systèmes de numération antique

VI Vocabulaire

VII Tous les exercices WIMS

I-1 Comptine numérique

I-2 Le mot-nombre

I-3 Définition des entiers dans un contexte cardinal

I-4 Définition des entiers dans un contexte ordinal

On apprend d'abord la comptine numérique qui est la suite des mots-nombres en associant visuellement ou mentalement un objet nouveau à chaque mot récité.
Pour compter un petit nombre de billes, on va les regarder une à une et dire pour chacune d'entre elles un mot-nombre. On établit donc une correspondance (bijection) entre deux ensembles (les nombres pouvant être au départ représentés par des cailloux, origine du mot calcul ou par des mots-nombres ensuite).
Ainsi, le dernier nombre dit a deux statuts : celui de montrer la dernière bille (nombre ordinal) et celui de donner le cardinal de l'ensemble qu'on vient de compter.
Selon les contextes dans lesquels on se place, compter peut signifier réciter la comptine (c'est ce que font les enfants très jeunes) ou dénombrer (ce qui implique une prise de conscience de ce que signifient les mots).

Le mot-nombre peut être selon le contexte

• un cardinal : il fait référence alors à la totalité d'un ensemble d'objets en nombre fini. Le cardinal est le nombre d'éléments d'un ensemble.
• un ordinal : il fait alors référence à un élément au sein d'un ensemble d'éléments ordonnés et décrit la position relative de cet élément.
• une mesure : il réfère à une quantité continue et indique combien d'unités lui correspondent.

Si l'on compte un ensemble d'objets, l'ordre dans lequel on les énumère n'a pas d'importance, seul le dernier nombre que l'on a dit a de l'importance. On retrouve cette problématique dans la situation suivante : ayant un ensemble de $N$ objets et un autre ensemble à côté, on dénombre les éléments du second ensemble en commençant à $N+1$.

Deux ensembles qui ont même cardinal sont deux ensembles qui ont le même nombre d'éléments. On dit encore que les deux ensembles sont équipotents ou en correspondance terme à terme. On est dans une situation où le mot-nombre quantifie une collection d'éléments et où il s'agit de répondre à la question combien ? . On associe le même mot-nombre à deux ensembles ayant même nombre d'éléments.
Il faut être conscient que, si on a dénombré les éléments d'un ensemble à l'aide de la comptine, le dernier mot-nombre prononcé correspond au nombre d'éléments de l'ensemble. On doit aussi faire abstraction de la nature et des différences éventuelles entre les objets dénombrés ainsi que de leur position spatiale.
La première question qui se pose alors est la comparaison des ensembles du point de vue de la quantité d'objets qu'ils contiennent.
Et le zéro ? Compter le nombre d'éléments d'un ensemble qui n'en contient pas n'est pas très naturel.

La notion d'ordinal est associée à l'idée d'éléments d'une suite ordonnée. Chaque entier ordinal (un mot-nom) a toujours un et un seul successeur. Le mot-nombre décrit l'ordre d'un élément dans un ensemble d'éléments ordonnés. Il s'agit donc de répondre à la question Où.

II-1 Axiomes

II-2 Autres formes du principe de récurrence

II-3 Structure additive

II-4 Structure multiplicative

II-5 Structure d'ordre

On a cherché au 19-ième siècle à donner une définition à ces entiers naturels c'est-à-dire à trouver un certain nombre de propriété minimales permettant de construire l'ensemble $\mathbb{N}$ des entiers et le caractérisant en un certain sens.
C'est un ensemble $\mathbb{N}$ vérifiant (en appelant entiers ses éléments) :

• A0 :
  0 est un entier.
• A1 :
  Tout entier a un successeur (et un seul, on note $s(a)$ le successeur de $a$).
• A2 :
  0 n'est pas le successeur d'un entier.
• A3 :
  Si deux entiers ont même successeur, ils sont égaux.
• A4 (Principe de récurrence) :
  Soit $A$ un sous-ensemble contenant 0 et le successeur de chacun de ses éléments. Alors, $A$ est l'ensemble $\mathbb{N}$.

Dans le vocabulaire des noms-nombres, le successeur de zéro est un, le successeur de un est deux, le successeur de deux est trois, ... L'ensemble des entiers tels que vous le connaissez vérifie bien ces propriétés.
Quelques remarques sur ces axiomes :

• A0 dit que $\mathbb{N}$ n'est pas vide. Dans les remarques suivantes, on suppose qu'il est vérifié.
• A1 signifie que l'on a une application $s$ de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{N}$ ; A2 implique que l'image de $s$ ne contient pas 0 ; A3 signifie que cette application est injective.
• A2 dit que $\mathbb{N}$ possède un premier élément (un ensemble de boules sur un collier, où l'on définit le successeur comme celui qui le suit en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre, ne vérifie pas A2.)
• On déduit de A4 que Tout entier autre que 0 est le successeur d'un entier (ce que l'on va noter A2b); ainsi, l'image de $s$ est égale à $\mathbb{N}-\{0\}$. En effet, considérons le sous-ensemble formé $A$ de tous les successeurs et de 0. L'ensemble des successeurs de $A$ est contenu dans l'ensemble des successeurs de $\mathbb{N}$ donc dans $A$. Par A4, c'est donc $\mathbb{N}$.
• Un ensemble non vide vérifiant A1, A2 et A3 est infini. En effet, supposons-le fini, on énumère les éléments à partir de 0 dans l'ordre des successeurs (ce qui est permis par A1). Le dernier dans l'énumération ne peut avoir comme successeur $0$ à cause de A2, ni un autre que $0$ à cause de A3.
• Remarquons qu'on peut construire des ensembles (finis) vérifiant deux des axiomes parmi A1, A2 et A3 (et vérifiant aussi A4) :
  1. Un ensemble formé de $0$, $1$, $2$ ... et $a$ et où le successeur de $a$ est 1 vérifie les axiomes sauf A3. (dessin sur un $\rho$ !).
  2. Un ensemble formé de $0$, $1$, $2$ ... et $a$ et où le successeur de $a$ est 0 vérifie les axiomes sauf A2. (dessin sur un cercle).
  3. Un ensemble formé de $0$, $1$, $2$ ... et $a$ vérifie les axiomes sauf A1. (dessin sur un segment).
• Il existe des ensembles vérifiant A1, A2 et A3 et vérifiant même A2b mais ne vérifiant pas A4. Pour en construire un, on va supposer connu $\mathbb{N}$ et les propriétés de structure d'ordre afin de simplifier la construction et la rendre plus tangible. On prend la réunion de l'ensemble formé des $1-{\displaystyle \frac{1}{n}}$, des $1+{\displaystyle \frac{1}{n}}$, des $3-{\displaystyle \frac{1}{n}}$ pour $n\in \mathbb{N}-\{0\}$. Bien sûr ici, $\mathbb{N}$ est un ensemble vérifiant les axiomes ... Le successeur d'un élément est l'élément (unique) de l'ensemble qui lui est plus grand pour la structure d'ordre des réels. Ainsi,
  • Le successeur de $0=1-{\displaystyle \frac{1}{1}}$ est $1-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.
  • le successeur de $1-{\displaystyle \frac{1}{n}}$ est $1-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$.
  • Le successeur de $1+{\displaystyle \frac{1}{n}}$ est $1+{\displaystyle \frac{1}{n-1}}$.
  • le successeur de $3-{\displaystyle \frac{1}{n}}$ est $3-{\displaystyle \frac{1}{n+1}}$.
  Remarquons que $1$ n'est pas dans l'ensemble et que $0$ est obtenu comme $1-{\displaystyle \frac{1}{1}}$. Tout élément est le successeur d'un autre élément : pour $n\in \mathbb{N}-\{0\}$,
  • $1-{\displaystyle \frac{1}{n}}$ est le successeur de $1-{\displaystyle \frac{1}{n-1}}$ si $n\ne 2$.
  • $1+{\displaystyle \frac{1}{n}}$ est le successeur de $1+{\displaystyle \frac{1}{n-1}}$ si $n\ne 2$.
  • $2=1+{\displaystyle \frac{1}{1}}$ est le successeur de $1+{\displaystyle \frac{1}{2}}$
  • $3-{\displaystyle \frac{1}{n}}$ est le successeur de $3-{\displaystyle \frac{1}{n-1}}$ si $n\ne 2$.
  Cet ensemble $E$ ne vérifie pas A4 : le sous-ensemble $A$ de $E$ formé des $1-{\displaystyle \frac{1}{n}}$ avec $n\in \mathbb{N}-\{0\}$ contient 0 et le successeur de chacun de ses éléments se trouve encore dans $A$ ; pourtant $A$ n'est pas égal à $E$.

Voici une autre forme du principe de récurrence.

Propriétés

Démonstration

Définissons une structure additive sur $\mathbb{N}$, c'est-à-dire l'opération addition
On définit récursivement l'addition sur $\mathbb{N}$ en posant Si on note $1=s(0)$, on peut alors écrire $s(a)=s(a+0)=a+1$. Ainsi, $a+1$ est le successeur de $a$.

Exercice

Dès que l'on compare les cardinaux de deux ensembles ou que l'on joint deux ensembles, on est amené à faire une opération additive qui évite de refaire la comptine numérique sur le premier ensemble : on compte les éléments du deuxième ensemble en partant du successeur du cardinal du premier ensemble.

La multiplication sur $\mathbb{N}$ est définie récursivement en posant autrement dit On a alors par exemple

Exercice

La définition précédente est liée à la représentation du produit de deux entiers sous forme d'aire : on a un rectangle partagé en carrés, on rajoute une rangée, ...

a s(b) = a b + a

s(b)	=	+
a

Une autre définition, pour laquelle la propriété de commutativité est moins évidente, est

On définit une relation sur $\mathbb{N}$ : $a\le b$ s'il existe un entier naturel $c$ tel que $a+c=b$. Autrement dit, $b=s(s(\dots s(a)\dots ))$.
En particulier, $0\le a$ pour tout $a\in \mathbb{N}$. Les propriétés de cette relation sont celles d'un ordre total, c'est-à-dire que pour tous $a$, $b$ et $c$ dans $\mathbb{N}$,

• $a\le a$ ;
• si $a\le b$ et $b\le a$, alors $a=b$ ;
• si $a\le b$ et si $b\le c$, alors $a\le c$ ;
• on a soit $a\le b$, ou $b\le a$ (ordre total).

Propriétés

Autrement dit, si $A$ est un sous-ensemble non vide de $\mathbb{N}$, il existe un entier $N$ de $A$ tel que $n\ge N$ pour tout entier $n\in A$.
Démonstration

Propriétés

Autrement dit, si $A$ est un sous-ensemble non vide et fini de $\mathbb{N}$, il existe un entier $N$ de $A$ tel que $n\le N$ pour tout entier $n\in A$.
Démonstration

III-1 Une histoire de lapins d'après Fibonacci (1202)

III-2 Une histoire de croissance

III-3 Des suites classiques et des histoires de prêts bancaires

III-4 Des démonstrations par récurrence

Un fermier possède un couple de bébés lapins. Les bébés mettent deux mois pour atteindre leur maturité et engendrent alors un autre couple de lapins au début de chaque mois. Combien de couples de lapins le fermier a-t-il chaque mois ?

La notion de suite est liée aux entiers naturels. On peut les définir de manière explicite ou par récurrence. Voici quelques suites classiques :

• Suite arithmétique : $u_{n+1}=u_n+a$. Formule explicite : $u_n=u_0+na$
• Suite géométrique : $u_{n+1}=a\times u_n$. Formule explicite : $u_n=a^n{u}_0$.

Application : Soit $C$ le capital emprunté, ${\tau }_m$ le taux mensuel et $N$ le nombre de mensualités et $M$ la mensualité.
On note $C_n$ la somme qui reste à rembourser au bout de $n$ mois.
La formule de récurrence qui relie $C_{n+1}$ avec $C_n$ est la suivante
On a donc un mélange de suite arithmétique et de suite géométrique. On cherche un nombre $A$ tel que la suite $C_n-A$ soit géométrique de raison $1+{\tau }_m$. On trouve ${\tau }_{m}A=M$. Donc $A=M/{\tau }_m$.
Le taux annuel est souvent calculé comme ${\tau }_a=12{\tau }_m$. Or cette formule indique plutôt que ${\tau }_a=(1+{\tau }_m{)}^{12}-1>12{\tau }_m$.

Exercice

Exercice

Exercice

L'étude du langage est très intéressante pour comprendre l'évolution de la représentation des entiers. Quelques remarques :

• huit, neuf, dix, onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize ; il y a une racine commune entre onze et un, douze et deux, et cela jusqu'à seize, mais ensuite on passe à dix-sept, dix huit, dix neuf.
• trente et un, trente-deux ... quarante... on semble aller de dix en dix, puis soixante, soixante-dix, quatre-vingt, quatre-vingt dix. Comme si on revenait en système de numération de base 20.
• L'hôpital des quinze-vingts a ouvert, comme l'indique son nom, pour quinze fois vingts personnes, c'est-à-dire pour trois cents personnes.
• Un, deux et les autres :
  • En russe
    On utilise pour 1 le nominatif singulier, pour 2 à 4 le génitif singulier et pour des nombres plus grands que 5 le génitif pluriel.
  • pour les ordinaux
    un / premier, deux / second, trois / troisième, quatre / quatrième
    one / first, two / second, three / third, foor / forth
    Ainsi, il y a dans le langage des noms différents pour les deux premiers nombres ordinaux, par contre à partir de trois, il y a des similitudes de langage.
• Dans le Le bourgeois gentilhomme Acte 3 Scène IV (vérifier les comptes)
  MONSIEUR JOURDAIN.- Je crois que oui. J'en ai fait un petit mémoire. Le voici. Donné à vous une fois deux cents louis.
  DORANTE.- Cela est vrai.
  MONSIEUR JOURDAIN.- Une autre fois, six-vingts.
  DORANTE.- Oui. MONSIEUR JOURDAIN.- Et une autre fois, cent quarante.
  DORANTE.- Vous avez raison.
  MONSIEUR JOURDAIN.- Ces trois articles font quatre cent soixante louis, qui valent cinq mille soixante livres.
  DORANTE.- Le compte est fort bon. Cinq mille soixante livres.
  MONSIEUR JOURDAIN.- Mille huit cent trente-deux livres à votre plumassier.
  DORANTE.- Justement.
  MONSIEUR JOURDAIN.- Deux mille sept cent quatre-vingts livres à votre tailleur.
  DORANTE.- Il est vrai.
  MONSIEUR JOURDAIN.- Quatre mille trois cent septante-neuf livres douze sols huit deniers à votre marchand.
  DORANTE.- Fort bien. Douze sols huit deniers; le compte est juste.
  MONSIEUR JOURDAIN.- Et mille sept cent quarante-huit livres sept sols quatre deniers à votre sellier.
  DORANTE.- Tout cela est véritable. Qu'est-ce que cela fait?
  MONSIEUR JOURDAIN.- Somme totale, quinze mille huit cents livres.
  

La numération que nous utilisons est une numération de position en base 10. Le zéro permet d'indiquer les positions qui manquent.

$737180=0\times {10}^0+8\times {10}^1+{10}^2+7\times {10}^3+3\times {10}^4+7\times {10}^5$

V-1 Numération égyptienne

V-2 Numération babylonienne

V-3 Numération Maya

V-4 Comparaison

La numération égyptienne est une numération additive en base 10 : il y a des signes pour les puissances de 10 et on les répète autant de fois que nécessaire.
Ainsi,

est l'écriture égyptienne de l'entier naturel $143231$.
L'ordre dans lequel ces signes sont mis n'a pas d'importance :
et représentent tous deux l'entier naturel $33$.

Exercice

Les babyloniens utilisaient deux caractères écrits avec des poinçons sur les tablettes : le clou représentant 1 et pouvant être répété jusqu'à 9 fois et le chevron représentant 10 et pouvant être répéter jusqu'à 5 fois :
Ces règles permettent d'écrire les nombres jusqu'à 60 (numération additive en base 10). Ensuite les balyloniens représentaient des groupes de 60 unités. Cette numération est donc alors une numération de position en base 60.
Ainsi,

    

représente l'entier naturel $3\times 1+3\times 10+60(1+4\times 10)=2493$.
Les soixantaines ont été mises ici sur la gauche.

Exercice

Les nombres au dessous de 20 s'écrivent selon une numération additive en base 5 (un point pour 1 et une barre pour 5) et selon une numération de position en base 20 de haut en bas. Un symbole représentait une place vide : le zéro.
Ainsi, représente l'entier naturel $19\times {20}^3+0\times {20}^2+5\times 20+19\times 1=15319$ que l'on peut aussi écrire

$15319=(\times 5+)\times {20}^3+(\times 5+)\times {20}^2+(\times 5+)\times 20+(\times 5+)$

Certaines irrégularités avaient lieu dans le cas des dates et des heures. Nous n'en parlons pas ici.

Exercice

Pour écrire le nombre $999$, il faut

1. $9+9+9=27$ symboles en numération égyptienne
2. 14 symboles en numération maya :
   ${\displaystyle 999=19+20\times 20+2\times {20}^2=(4+3\times 5)+(0+4\times 5)\times 20+2\times {20}^2}$
3. 19 symboles en numération babylonienne :
   ${\displaystyle 999=39+16\times 60=(9+3\times 10)+(6+1\times 10)\times 60}$
4. $3$ symboles en numération décimale.

Exercice

Systèmes de numération :