Échantillonnage avec Python
--- Introduction ---
Ce module regroupe pour l'instant 16 activités sur les probabilités.
Le but de l'ensemble des exercices est permettre aux élèves d'appréhender l'algorithme
relatif à une distribution d'échantillonnage.
Seuls les exercices intitulés "échantillonage" traitent de cette notion.
Un script python permet de réaliser les simulations d'échantillons et de leur représentation
graphique. Le niveau visé est une classe de seconde.
Le but est de travailler de concert dans des cadres algébriques, graphiques et
algorithmiques afin de maîtriser la notion d'échantillonnage.
Trois des exercices sont extraits de la compilation d'exercices fournie par la direction
générale de l'enseignement scolaire écrite en juin 2009 pour illustrer
le programme de BAC PRO.
Trois exercices abordent la méthode de Monte-Carlo avec 3 niveaux possibles:
- Méthode de Monte-Carlo 1 : Calcul de pi + intervalle de confiance
- Méthode de Monte-Carlo 2 : Calcul d'une intégrale simple + intervalle de confiance
- Méthode de Monte-Carlo 3 : Calcul d'une intégrale complexe + intervalle de confiance
Méthode de Monte-Carlo (random)
- Soit
le point de coordonnée
. Exprimer le carré de la distance
en fonction de
et
.
- En déduire une inégalité stricte qui décrit l'ensemble des points
appartenant au disque de rayon 1 et de centre
.
1
- Quelle est l'aire du carré
?
- Quelle est l'aire du disque de centre
et de rayon 1 ?
- Dans le cas où le nombre total
de points est très important, déterminer approximativement le rapport entre l'aire du disque et l'aire du carré en fonction du nombre total
de points et du nombre
de points à l'intérieur du disque .
- Déterminer l'intervalle de confiance à
près :
- Quelle est la probabilité théorique qui appartient à cet intervalle avec un seuil de confiance de 95% ?
- La probabilité théorique
appartient-elle à l'intervalle de confiance ?
Méthode de Monte-Carlo 1 (uniform)
- Soit
le point de coordonnée
. Exprimer le carré de la distance
en fonction de
et
.
- En déduire une inégalité stricte qui décrit l'ensemble des points
appartenant au disque de rayon 1 et de centre
.
1
- Quelle est l'aire du carré
?
- Quelle est l'aire du disque de centre
et de rayon 1 ?
- Dans le cas où le nombre total
de points est très important, déterminer approximativement le rapport entre l'aire du disque et l'aire du carré en fonction du nombre total
de points et du nombre
de points à l'intérieur du disque .
- Déterminer l'intervalle de confiance à
près :
- Quelle est la probabilité théorique qui appartient à cet intervalle avec un seuil de confiance de 95% ?
- La probabilité théorique
appartient-elle à l'intervalle de confiance ?
Méthode de Monte-Carlo 2
- Soit
le point de coordonnée
appartenant à le courbe représentative de la fonction
. Exprimer la relation entre
,
et la fonction
.
- Soit
le point de coordonnée
appartenant au plan délimité par les inéquations suivantes et . Exprimer une inégalité stricte ou large en fonction de
,
et la fonction
pour que le point
soit de la courbe.
- Quelle est l'aire du
?
- Calculer l'aire exacte du domaine violet ci-dessus.
- Dans le cas où le nombre total
de points est très important, déterminer le rapport entre l'aire du domaine violet et l'aire du carré en fonction du nombre total
de points et du nombre
de points .
- Déterminer l'intervalle de confiance à
près :
- Quelle est la probabilité théorique qui appartient à cet intervalle avec un seuil de confiance de 95% ?
- La probabilité théorique
appartient-elle à l'intervalle de confiance ?
Méthode de Monte-Carlo 3
- Soit
le point de coordonnée
appartenant à le courbe représentative de la fonction
. Exprimer la relation entre
,
et la fonction
.
- Soit
le point de coordonnée
appartenant au plan délimité par les inéquations suivantes et . Exprimer une inégalité stricte ou large en fonction de
,
et la fonction
pour que le point
soit de la courbe.
- Quelle est l'aire du
?
- Calculer l'aire exacte du domaine violet ci-dessus.
- Dans le cas où le nombre total
de points est très important, déterminer le rapport entre l'aire du domaine violet et l'aire du carré en fonction du nombre total
de points et du nombre
de points .
- Déterminer l'intervalle de confiance à
près :
- Quelle est la probabilité théorique qui appartient à cet intervalle avec un seuil de confiance de 95% ?
- La probabilité théorique
appartient-elle à l'intervalle de confiance ?
Dé 1
Dé 2
Dé 3
La ligne numéro 15 du programme est erronée. Modifier la condition sur l'instruction if pour que l'algorithme calcule le nombre d'appartions de la face.
La condition sur l'instruction if est correcte.
Dé 4
La simulation de lancers d'un dé à six faces est représentée ci-dessous :
- Quelle est la probabilité théorique d'apparition d'une des faces ? Arrondir au millième.
- Quelle est la fréquence expérimentale d'apparition de la face ? Arrondir au millième.
- En comparant les fréquences expérimentales à la probabilité théorique, la simulation semble-t-elle satisfaisante ?
-
Dé 5
La simulation de lancers d'un dé à six faces est représentée ci-dessous :
- Quelle est la probabilité théorique d'apparition d'une des faces ? Arrondir au millième.
- Quelle est la fréquence expérimentale d'apparition de la face ? Arrondir au millième.
- En comparant les fréquences expérimentales à la probabilité théorique, la simulation semble-t-elle satisfaisante ?
-
Dé 6
On souhaite simuler l'expérience aléatoire qui consite à lancer deux dés équilibrés. Les issues possibles du premier dé sont
et pour le second dé, les issues possibles sont
. Le but de cette expérience aléatoire est d'étudier la somme des deux dés. Déterminer les valeurs possibles prisent par la somme :
La simulation de lancers de la somme de deux dés dont le premier à faces et le deuxième à faces est représentée ci-dessous :
Dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'obtenir un événement A est donnée par :
Pour dénombrer les issues possibles et les différents événements, deux outils sont proposés :
- Quelle est la probabilité théorique d'apparition de la somme ? La fraction irréductible est attendue.
- En comparant les fréquences expérimentales aux probabilités théoriques, la simulation semble-t-elle satisfaisante ?
Échantillonnage 1
Étape
- Déterminer les bornes de l'intervalle de confiance à
:
=
=
- En déduire l'intervalle de confiance :
- Construire sur le graphique ci-dessus l'intervalle de confiance.
- En déduire le nombre d'échantillons qui est dans cet intervalle de confiance :
- La fréquence observée est-elle dans l'intervalle de confiance ?
- Sur les simulations, est-il arrivé au hasard de fournir une fréquence d'habitants d'origine mexicaine comparable à celle des jurés d'origine mexicaine observée dans ce comté du Texas ?
- Que peut-on en déduire sur la constitution des jurys dans le comté du sud du texas ?
Échantillonnage 2
Étape
- Déterminer les bornes de l'intervalle de confiance à
:
=
=
- En déduire l'intervalle de confiance :
- Construire sur le graphique ci-dessus l'intervalle de confiance.
- En déduire le nombre d'échantillons qui est dans cet intervalle de confiance :
- La fréquence observée est-elle dans l'intervalle de confiance ?
- Cette situation est-elle exceptionnelle ou probable ?
Fréquence 1
Fréquence 2
- Quelle est la probabilité théorique d'apparition d'une des faces ?
L'ensemble des ordonnées des points est donc contenu dans l'intervalle :
;
L'ensemble des ordonnées des points est donc contenu dans l'intervalle :
;
Fréquence 3
- Quelle est la probabilité théorique d'apparition d'une des faces ?
Conclure en précisant si les assertions sont vraies ou fausses :
Le est égale au :
Le est égale au :
Fréquence 4
- Quelle est la probabilité théorique d'apparition d'une des faces ?
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- Description: apprendre à coder avec Python en réalisant des simulations d'échantillons. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games at University of Chieti-Pescara
- Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, programming, algorithmics,python,functions,probability,prediction_interval,sampling_distribution,numerical_integration
