Sur les expressions numériques

Sur les expressions numériques

• I Expression sans parenthèses
  • I-1 Avec des additions et des soustractions
  • I-2 Priorité de la multiplication
• II Expression avec parenthèses
• III Simplification d'écriture
• IV Distributivité
  • IV-1 Égalités de la distributivité
  • IV-2 Développer
• V Distributivité et calcul mental

Sur les expressions numériques.

I Expression sans parenthèses

II Expression avec parenthèses

III Simplification d'écriture

IV Distributivité

V Distributivité et calcul mental

I Expression sans parenthèses

• I Expression sans parenthèses
  • I-1 Avec des additions et des soustractions
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• V Distributivité et calcul mental

I-1 Avec des additions et des soustractions

I-2 Priorité de la multiplication

Sur les expressions numériques → I Expression sans parenthèses

I-1 Avec des additions et des soustractions

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  • IV-2 Développer
• V Distributivité et calcul mental

Le but de ce chapitre est de se rappeler les règles essentielles pour calculer des expressions numériques.

Proposition [Enchaînement d'opérations, additions, soustractions]

Dans un enchaînement d'additions et de soustractions sans parenthèses, on effectue les calculs de gauche à droite.

Exemple [Calculons l'expression $A$]

$A$	=	$79.1-31.2-1.5-26.7$
$A$	=	$47.9-1.5-26.7$
$A$	=	$46.4-26.7$
$A$	=	$19.7$

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I-2 Priorité de la multiplication

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Proposition [Priorité de la multiplication]

Dans un enchaînement sans parenthèses, d'additions, de soustractions et de multiplications, on commence par effectuer les multiplications.

Exemple [Calculons l'expression $A$]

$A$	=	$141+9\times 14$
$A$	=	$141+126$
$A$	=	$267$

Exemple [Calculons l'expression $A$]

$A$	=	$216\times 2-9\times 12$
$A$	=	$432-108$
$A$	=	$324$

Théorème

La multiplication est prioritaire sur l'addition et sur la soustraction.

Sur les expressions numériques → I Expression sans parenthèses → I-2 Priorité de la multiplication

II Expression avec parenthèses

• I Expression sans parenthèses
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  • I-2 Priorité de la multiplication
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• IV Distributivité
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Proposition [Priorité des parenthèses]

Pour calculer une expression avec parenthèses, on effectue d'abord les calculs entre parenthèses, en commençant par les parenthèses les plus intérieures.

Quelques exemples commentés pour bien comprendre la propriété !

Exemple [Calculons l'expression $A$]

$A$	=	$78+(30-9)\times 2$
$A$	=	$78+21\times 2$
$A$	=	$78+42$
$A$	=	$120$

Remarque

Comme pour le calcul de $A$, lorsqu'on retrouve une expression sans parenthèses, on applique la règle de priorité de la multiplication ;

Exemple [Calculons l'expression $B$]

$B$	=	$10\times (29-(12+10))$
$B$	=	$10\times (29-22)$
$B$	=	$10\times 7$
$B$	=	$70$

Remarque

Comme pour le calcul de $B$, remarquer que l'on commence par les parenthèses les plus intérieures ;

Exemple [Calculons l'expression $C$]

$C$	=	$135-(46-4\times 8)\times 9$
$C$	=	$135-(46-32)\times 9$
$C$	=	$135-(14)\times 9$
$C$	=	$135-126$
$C$	=	$9$

Remarque

Comme pour le calcul de $C$, même à l'intérieur des parenthèses les règles 1 et 2 restent valables.

Sur les expressions numériques → II Expression avec parenthèses

III Simplification d'écriture

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Proposition [Absence du signe de la multiplication]

Le signe de multiplication ( ) peut être supprimé devant une lettre ou devant une parenthèse.

Exemples

1. Le produit $5\times b$ peut s'écrire $5b$ ;
2. le produit $b\times v$ peut s'écrire $bv$ ;
3. le produit $7\times (v+5)$ peut s'écrire $7(v+5)$. On dit $7$ facteur de $v+5$ ;
4. le produit $5\times (b-7)$ peut s'écrire $5(b-7)$. On dit $5$ facteur de $b-7$;
5. le produit $b\times b$ peut s'écrire $b^2$. On dit $b$ au carré. De même on a $5\times 5=5^2$ ce qui vaut $25$.

Remarque [Attention]

Le signe est obligatoire lorsque son absence entraîne une confusion. En effet, $5\times 7$ ne s'écrit pas $57$ puisque cela vaut $35$.

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IV Distributivité

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IV-1 Égalités de la distributivité

IV-2 Développer, factoriser

Sur les expressions numériques → IV Distributivité

IV-1 Égalités de la distributivité

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Proposition [Distributivité]

Les égalités ci-dessous sont vraies pour tous les nombres $k$, $a$ et $b$. On dit que la multiplication est distributive par rapport à l'addition et à la soustraction.

$\begin{array}{ccc}k(a+b)& =& ka+kb\\ k(a-b)& =& ka-kb\end{array}$

$\begin{array}{ccc}(a+b)k& =& ak+bk\\ (a-b)k& =& ak-bk\end{array}$

Voyons sur quelques exemples comment utiliser ces propriétés.

Exemple [Calculer $A$]

$A$	=	$2\times (20-4)$
$A$	=	$2\times 20-2\times 4$
$A$	=	$40-8$
$A$	=	$32$
$A$	=	$2\times (20-4)$
$A$	=	$2\times 16$
$A$	=	$32$

Exemple [Calculer $B$]

$B$	=	$19\times 1+15\times 1$
$B$	=	$(19+15)\times 1$
$B$	=	$34\times 1$
$B$	=	$34$
$B$	=	$19\times 1+15\times 1$
$B$	=	$19+15$
$B$	=	$34$

Un côté du rectangle rouge mesure $a$. Le côté commun avec le rectangle bleu mesure $k$. L'autre côté du rectangle bleu mesure $b$.
Si on détermine l'aire du grand rectangle (formé par les deux rectangles colorés) de deux manières différentes, on démontre l'égalité. On peut considérer que les côtés du grand rectangle sont $k$ et $a+b$.

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IV-2 Développer, factoriser

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  • IV-2 Développer
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On peut appliquer les égalités de la distributivité de deux façons :

1. pour développer :
   $7\times (20-10)$ = $7\times 20-7\times 10$
2. pour factoriser :
   $13\times 11+13\times 7=13\times (11+7)$

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V Distributivité et calcul mental

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• V Distributivité et calcul mental

Quand on sait bien appliquer les règles de distributivité et de factorisation, on peut les utiliser pour simplifier certains calculs comme le montrent les exemples ci-après.

Exemple [Calculons $A$]

$A$	=	$299\times 9$
$A$	=	$299\times (10-1)$
$A$	=	$299\times 10-299\times 1$
$A$	=	$2990-299$
$A$	=	$3289$

Exemple [Calculons $B$]

$B$	=	$9\times 2584+1\times 2584$
$B$	=	$2584\times (1+9)$
$B$	=	$2584\times 10$
$B$	=	$25840$

Sur les expressions numériques → V Distributivité et calcul mental

document sur les expressions numériques.
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• Description: document sur les expressions numériques. interactive exercises, online calculators and plotters, mathematical recreation and games at University of Chieti-Pescara
• Keywords: interactive mathematics, interactive math, server side interactivity, algebra, expression numérique, calcul, factorisation, distributivité, simplification